江苏省泰州市2024届下学期高三数学第一次联考试卷
(考试时间：120分钟 总分160分)
命题人：朱占奎（ 江苏省靖江中学） 杨鹤云（江苏省泰州中学） 蔡德华（泰兴市第二高级中学）
审题人：周如才（江苏省姜堰中学） 石志群（泰州市教研室） 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 参考公式：
样本数据x1，x2，L，xn的方差
其中x为样本平均数
1s2?[(x1?x)2?(x2?x)2?L?(xn?x)2]
n圆柱的侧面积 S侧?2?rl
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知全集U??1,2,3,4,5?，A??1,2?，B??1,2,4?，则CU(A?B)? ． 2．函数y?sin?xcos?x的最小正周期是 ．
3．
(2?i)(1?i)? ．
1?2iB2A4．已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD内，如果通过大量的实验发现米粒落入△BCD内的频率稳定在
D4附近，9C那么点A和点C到直线BD的距离之比约为 ． 5．已知下列三组条件：（1）A:??第4题图
?6，B:sin??1；（2）A:x?1，2B:x2?(a2?1)x?a2?0（a为实常数）；（3）A:定义域为R上的函数f(x)满足f(1)?f(2)，B:定义域为R的函数f(x)是单调减函数．其中A是B的充分不必要条件的
是 ．（填写所有满足要求的条件组的序号）
6．在等差数列?an?中，若a3?a9?a27?12，则a13? ． 7．甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：
品种 甲 乙 第1年 9.8 9.7 第2年 9.9 10 第3年 10.2 10 第4年 10.1 10.3
其中产量比较稳定的水稻品种是 ．
x2y2xy8．在椭圆中，我们有如下结论：椭圆2?2?1上斜率为1的弦的中点在直线2?2?0上，
ababx2y2类比上述结论，得到正确的结论为：双曲线2?2?1上斜率为1的弦的中点在直线 上．
ab9．某算法的伪代码如图,则输出的结果是 ．
s?1i?1Whiles?200
4 主视图 4 左视图 4 i?i?2s?s?iEndPrintWhilei· 俯视图
第9题图 第10题图
10．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的内接圆柱侧面积的最大值为 ． 11．若f(x)?ax?b?1（0?a?1）在?0,1?上有零点，则b?2a的最小值为 ．
x2y212．已知抛物线y?2px(p?0)焦点F恰好是双曲线2?2?1的右焦点，且双曲线过
ab23a22b2,点（），则该双曲线的渐近线方程为 ． pp13．已知函数f(x)?loga(2?ax)的图象和函数g(x)?log1(a?2x)(a?0,a?1)的图象
a关于直线y?b对称（b为常数），则a?b? ． 14．设?,?为常数（???0,????????,??，若sin(???)?sin(???)?sin?(sin? ??,?）4?42???sin?)?cos?(cos??cos?)对一切?,??R恒成立，则
tan?tan??cos(???)sin(??)42?? ．
二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
rr已知a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)．
（1）若?????6rr，求a?b的值；
A'PEACrr4?（2）若a?b?,??，求tan(???)的值．
58
FB 16．（本小题满分14分）
如图，E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将?AEF折起到?A'EF的位置，连结A'B、A'C，P为A'C的中点． （1）求证：EP//平面A'FB；
（2）求证：平面A'EC?平面A'BC； （3）求证：AA'?平面A'BC． 17．（本小题满分15分）
已知直线l：y?kx?2（k为常数）过椭圆
yBlx2y2??1（a?b?0）的上顶点B和左焦点F，直a2b2线l被圆x?y?4截得的弦长为d． （1）若d?23，求k的值； （2）若d?22FOx45，求椭圆离心率e的取值范围． 53，
18．（本小题满分15分）
如图，有一块四边形BCED绿化区域，其中?C??D?900，BC?BD?CE?DE?1，现准备经过DB上一点P和EC上一点Q铺设水管PQ，且PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，设DP?x，EQ?y．
（1）求x,y的关系式； （2）求水管PQ的长的最小值．
BCPDEQ19．（本小题满分16分）
x2?e（e为自然对数的底数）已知曲线C1：y?，曲线C2：y?2elnx和 e直线l：y?2x．
（1）求证：直线l与曲线C1，C2都相切，且切于同一点；
（2）设直线x?t(t?0)与曲线C1 ，C2及直线l分别相交于M,N,P，记
f(t)?PM?NP，求f(t)在[e?3,e3]上的最大值；
（3）设直线x?em（m为自然数）与曲线C1和C2的交点分别为Am和Bm，问是否存在正整数n，使得A0B0?AnBn？若存在，求出n；若不存在，请说明理由. (本小题参考数据e≈2.7) ．
20．（本小题满分16分）
已知公差d为正数的等差数列?an?和公比为q（q?1）的等比数列?bn?． （1）若a1?0，且
an?1bn?1?对一切n?N*恒成立，求证：d?a1q?a1； anbn（2）若d>1，集合?a3,a4,a5???b3,b4,b5???1,2,3,4,5?，求使不等式
2an?pan?bn?1?p?8成立的自然数n恰有4个的正整数p的值．
bn高三数学试题附加题部分
(考试时间：30分钟 总分40分)
21．[选做题]在A，B，C，D四小题中只能选做2小题，每题10分，共20分；请在答题纸上按指定要求在指定区域内作答，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 A．选修4—1 几何证明选讲
如图，圆O的两条弦AC、BD相交于点P． （1）若?AOC??BOD，求证：AB?CD；
（2）若AP?2，PC?1，圆O的半径为3，求OP的长．
B．选修4—2 矩阵与变换
设数列?an?,?bn?满足an?1?3an?2bn,bn?1?2bn，且满足?阶矩阵M．
C．选修4—4 参数方程与极坐标
圆O1和圆O2的极坐标方程分别为??4cos?，???sin?． （1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
ODPABC?an?4??an??M，试求二????bn?4??bn?（2）求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程．
D．选修4—5 不等式证明选讲
若a,b,c?R，
?求证 ：（1）
aba??2； bccb2c2a2bca???c?a?b（2）． abcabc
[必做题]第22、23题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
22．某小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动. （1）现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；
（2）若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数?是一个随机变量，求随机变量?的分布列及数学期望
E(?).
23．如图，在棱长为1的正方体AC1中，E、F分别为A1D1和A1B1的中点． （1）求异面直线AE和BF所成的角的余弦值；
（2）求平面BDD1与平面BFC1所成的锐二面角的余弦值； （3）若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP//平面BFC1，求EP的最大值、最小值．
江苏省泰州市2024届高三下学期第一次联考（数学）
高三数学试题参考答案
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1．?3,5? 2．1 3．－2 4．6． 4 7．甲 8．
5 5． （1）（2） 4xy?2?0 9．9 10．4? 2ab10x 13．2 14． 2 411．－2 12．y??二、解答题：（本大题共6小题,共90分．） 15．（本小题满分14分）
解：（1）∵a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?) ∴a?b?cos(???)?cos（2）∵a?b??6?3 …………………………………………5分 24433∴cos(???)?,sin(???)??,tan(???)?? 5554…………………………………………7分
Q????2??(???)??tan(???)?tan[?4?(???) ……………………………………9分
?4?(???)]?1?tan(???)
1?tan(???)331?4或4?1或7 ………………………………14分 ?3371?1?441?16．（本小题满分14分）
(1)证明：QE、P分别为AC、A′C的中点，
? EP∥A′A，又A′A?平面AA′B，EP?平面AA′B
∴即EP∥平面A′FB …………………………………………5分
(2) 证明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC ∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC BC?平面A′BC
∴平面A′BC⊥平面A′EC …………………………………………9分 (3)证明：在△A′EC中，P为A′C的中点，∴EP⊥A′C， 在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C
由(2)知：BC⊥平面A′EC 又A′A?平面A′EC
∴BC⊥AA′
∴A′A⊥平面A′BC …………………………………………14分 17．（本小题满分15分） 解：（1）取弦的中点为M，连结OM 由平面几何知识，OM=1
OM?2k?12?1 …………………………………………3分
解得：k2?3，k??3 ………………………………………5分 ∵直线过F、B ，∴k?0则k?（2）设弦的中点为M，连结OM 则OM2?3 …………………………………………6分
4 1?k24452)?() ……………………………………9分 1?k25d2?4(4?解得k2?1 …………………………………………11分 42(?)22c14ke2?2??? 225a1?k4?()2k25 …………………………………………15分 5∴0?e?（本题也可以利用特征三角形中的有关数据直接求得） 18．（本小题满分15分）
（1）延长BD、CE交于A，则AD=3，AE=2
则S△ADE= S△BDE= S△BCE= ∵S△APQ=3，∴
3 21(x?3)(y?2)?3 43 …………………………………………7分
2 ∴(x?3)(y?2)?422（2）PQ?AP?AQ?2AP?AQcos30? =(x?3)2?(43x?3)2?2?43?3?2·43?12?83?12 2…………………………………………12分
当(x?3)2?(43x?3)2，
即x?243?3时， PQmin?83?12?223?3
…………………………………………15分
19．（本小题满分16分）
x22x2x?e y'?解（1）证：y? 由y'??2 得x?e eee在C1上点(e,2e)处的切线为y?2e?2(x?e)，即y?2x 又在C2上点(e,2e)处切线可计算得y?2e?2(x?e)，即y?2x
∴直线l与C1、C2都相切，且切于同一点（e,2e） …………………5分
t2t2（2）f(t)??e?2t?(2t?2elnt)??2elnt?4t?e
ee2t12t2?2e2?4et2(t?e)2?2e?4???0 …………………7分 f'(t)?etetet ∴f(t)在e,e上递增
3??33? ∴当t?e时f(t)maxe6??2elne3?4e3?e?e5?4e3?7e……………10分 e(en)2(e2)nn?e?2elne??e?2ne （3）AnBn?ee(e2)n2(e2n?e2)2设上式为g(n) ，假设n取正实数，则g'(n)?·lne?2e?
ee当n?(0,1)时，g'(n)?0，?g(n)递减；
当n?(1,??)，g'(n)?0，?g(n)递增． ……………………………………12分
1g(0)?A0B0?e?
e1g(1)?2e?2e?0 g(2)?e3?e?4e?e3?3e?2.72e?3e?2e?e?
e∴不存在正整数n，使得g(m)?g(0)
即AnBn?A0B0 …………………………………………16分 20．（本小题满分16分） 解：（1）Qan?1bn?1a?d?q ，?n?ananbnQan?0，?d?an(q?1)对一切n?N*恒成立 ?d?an(q?1)的最小值，又d?0 ，q?1
?d?a1(q?1) …………………………………………4分
（2）Q1,2,3,4,5这5个数中成等比且公比q?1的三数只能为1,2,4
?只能是b3?1,b4?2,b5?4，a3?1,a4?3,a5?5
?an?a3?(n?3)d?2n?5,bn?b3qn?3?2n?3 …………………………8分 Q2an?pan?bn?1?p?8
bn2[2(n?p)?5]2n?2?p?8??
2n?52n?3?2?4pp?8?2?n?3
2n?524pp?8??n?3 2n?52Qp?0，?n?1,2显然成立 ……………………………………12分
当n?3时，?8(2n?5)84p2n?5?n?n?3，p?n?1
2?2n?52?1p?82?12n?5?当n?3时，p?82?3334当n?4时，p?457当n?5时，p?311 6当n?6时，p?2252n?1C2(2n?5)又设Cn?，则由n?1??1，得n?3.52n?5Cn2n?36 25?n?4时Cn单调递增?当n?6时，p?2?使不等式
2an?pan?bn?1?p?8成立的自然数n恰有4个的正整数p值为3
bn ……………………………………………16分
泰州市2024～2024学年度第二学期期初联考
高三数学试题参考答案
附加题部分
21．（选做题）（从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．）
A．解：(1)??AOC??BOD ∴?AOB??COD
∴AB=CD ……………………………………4分 （2）由相交弦定理得 2×1=(3+OP)(3-OP) ∴OP2?7，∴OP?B．解：依题设有：?7 ……………………………………10分
?an?1??32??an??? ………………………………………4分 ?????bn?1??02??bn??32?4 令A???，则M?A …………………………………………5分
?02? A??2?32??32??910??????? …………………………………………7分 ?02??02??04?4 M?A?A??22?910??910??81130???? ………………………………10分 ?????0160404??????C．解：以有点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长
度单位．（1）x??cos?，y??sin?，由??4cos?得??4?cos?． 所以x?y?4x．
即x?y?4x?0为圆O1的直角坐标方程． ……………………………………3分 同理x?y?y?0为圆O2的直角坐标方程． ……………………………………6分
22??x?y?4x?0（2）由?
22??x?y?y?02222222相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x?y?0． …………………………10分 D．证明：（1）因为a,b,c?R
? 所以
ababa??2??2 …………………………………………4分 bcbccb2c2b2c2b （2）∵ …………………………………………6分 ??2??2cababac2a2ca2b2a??2a??2b 同理，，……………………………………8分
cacbcbb2c2a2bca???c?a?b 三式相加即得……………………………10分 abcabc22．（必做题）（本小题满分10分）
解：（1）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的A, 则其概
11C4C28率为P(A)??. …………………………………………4分 2C615 答：恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为（2）随机变量??2,3,4
8 152C42P(??2)?2?; ……………………5分
C6511C4C8P(??3)?22?; …………………………6分
C6152C21P(??4)?2?; ………………………………7分
C615∴随机变量?的分布列为
? 2 3 4 P
∴E??2?2 58 151 152818?3??4??. …………………………10分 515153121,1) 223．（必做题）（本小题满分10分）
（1）A(1,0,0)，E(,0,1)，B(1,1,0)，F(1,11AE?(?,0,1)，BF?(0,?,1)
22cos(AE,BF)?15544?4 ……………………………………3分 5121,0) 2（2）平面BDD1的一个法向量为MA?(,?设平面BFC1的法向量为n?(x,y,z)
1?n?BF??y?z?0?x?z?2∴? ?y?2z?n?BC?(x,y,z)?(?1,0,1)??x?z?0??取z?1得平面BFC1的一个法向量n?(1,2,1)
1uuurr?1uuurrMA?n3rr?2cos?MA,n??uuu??
6|MA||n|262∴所求的余弦值为
3 ……………………………………6分 6（3）设P(x,y,0)（0?x?1,0?y?1）
uuurruuur11EP?(x?,y,?1)，由EP?n?0得(x?)?2y?1?0
223313即x??2y?，Q0?x?1,?0??2y??1??y?
2244uuur126?|EP|?(x?)2?y2?1?(2y?1)2?y2?1?5y2?4y?2?5(y?)2? 255Q13?y? 44uuur302
?当y?时，?|EP|min?
55
当y?
293
?时，∴EP ……………………………………10分 max44
江苏省泰州市2024届下学期高三数学第一次联考试卷
