极限相关及第二章导数总结-2024.10.30
数学1501-陈桐桐
写在前面：关于一些极限的计算总结，主要看我的第四周习题课讲稿即可。本次讲稿主要涉及一些间断点，渐近线以及整个导数第二章的内容，当然也会强调涉及一些极限的题目。普通的求导计算问题这里不再涉及。 一.待定常数求极限问题
1.当x?0时，??x??kx2与??x??1?xarcsinx?cosx为等价无穷小，则k?解：由lim??x?1?xarcsinx?cosx=limx?0??x?x?0kx2x?0 =lim =limx?0kx2?1?xarcsinx?cosx1?xarcsinx?cosx1?
k?1?xarcsinx?cosx?limx21?xarcsinx?cosxx?0?1?1?cosxarcsinx?3????2x?02kx?4k?x3由于两者为等价无穷小，故极限为1，所以k?4二.间断点问题 =lim2.设f?x??e1xx?1,则??1?
A.x?0,x?1都是f?x?的第一类间断点 B.x?0,x?1都是f?x?的第二类间断点
C.x?0是f?x?的第一类间断点，x?1是f?x?的第二类间断点 D.x?0是f?x?的第二类间断点，x?1是f?x?的第一类间断点
解析：考察f?x?在x?0,1处的极限或者左右极限?xx??1因为lim?e?1??0,所以limf?x???。所以x?0是f?x?的第二类间断点x?0x?0?? xx?x?1??x?1?lime???，limlimf?x??0,limf?x???1???e??0，所以xx?1?x?1??1?x?1?????因此x?1是f?x?的第一类间断点 1 / 8
3.设函数f?x??lnxsinx,则f?x?具有（）x?1
A.1个可去间断点，1个跳跃间断点 B.1个可去间断点， 1个无穷间断点C.2个跳跃间断点 D.2个无穷间断点解析：A.应考虑x=0和x=1两点?lnx1?因为limf?x??limsinx?limlnxsinx?? ?limx?0x?0x?1x?0x?0x?1???1lnx =limlnx?x?lim?limx??limx?0x?0x?0x?0x?011?2xx 则x?0为可去间断点x?1limf?x??lim??x?1ln?1??x?1??lnxsinx?sin1?lim?sin1,?x?1x?1x?1ln?1??x?1??lnxsinx?sin1?lim??sin1,?x?1x?1??x?1?x?1limf?x??lim??x?1x?1为跳跃间断点注：本题后面计算会用到一步洛必达x2n?1?14.求函数f?x??lim2n?1n?1的间断点，并判断其类型
n??x?x?x?1x?1,x?0?x?x?1?解析：f?x?=?1 x??1?0?x?1??21??1,f??1???lim?1?1,故x??1为第一类间断点，x??1xx??1 且为跳跃间断点1?f?1??=lim1?1,f1?lim?1,故x?1为第一类间断点，且为可去间断点??x?1?x?1?x1f?0??lim???，故为第二类间断点x?0xf??1???lim? 2 / 8
补充说明：有同学可能会有这样的疑问，当n???与n???极限不同。解释如下：因为一旦出现n，我们就将其看成数列，由于数列只有正项，故该题在考虑的时候只需考虑n?+?.当然，如果这个题的n换成?，那么这个题可能会很难，有想试的同学可以自行计算。
5.设函数f?x?和??x?在???，???有定义，f?x?为连续函数，且f?x??0,??x?有间断点，则A.??f?x??必有间断点B.??x?f?x?必有间断点2C.????x???必有间断点D.f????x???必有间断点
?1x?0解析：令f?x??x2?1,??x???,则可排除A,C,D??1x?0??x???x?对于B，假设连续，则??x?=?f?x?连续，与已知矛盾，故得证。f?x?f?x?三.渐近线问题
6.曲线y?1?ln?1?ex?渐近线条数为（） xA.0 B.1 C.2 D.3解析：只有间断点x?0,由于?1?limy?lim??ln?1?ex????,故x?0为垂直渐近线x?0x?0x???1?limy?lim??ln?1?ex??=0，故x???时有水平渐近线y?0x???x???x???1ln?1?ex??y??1又lim?lim?2?x???xx???xx?????1?lim?y?x??lim??ln?1?ex??lnex??0,故x???时有斜渐近线y=xx???x???x??说明：斜渐近线的公式在课本224页给出。计算时会用到洛必达四.导数定义问题
x2en(x?2)?ax?b7.已知f(x)?lim，其中a,b为常数，若f(x)在x?2处可导，则a,bn??1?en(x?2)取值为【 】
A.a?4,b?4 B.a?4,b??4 C.a??4,b??4 D.a??4,b?4
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北京科技大学大一高等数学：(第二章)极限相关及第二章导数重难点总结-陈桐桐
