第10讲 函数模型及其应用(2)

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 第10讲 函数模型及其应用(2)

【知识要点】

一、三种增长型函数的增长速度的比较

1、指数函数y?a(a?1)与幂函数y?x(n?0)在区间(0,??)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y?a的增长速度快于y?x的增长速度,因

xnxn而总存在一个x0,当x?x0时有ax?xn.

2、对数函数y?logax(a?1)与幂函数y?x(n?0)对数函数y?logax(a?1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y?x的增长速度, 因而在定义域内总存在一个

nn实数x0,当x?x0时有x?logax.

n3、由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,因此在(0,??)上，总会存在一个实数x0,当x?x0时有

ax?xn?logax(a?1).

二、分段函数

在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，每一段自变量的取值范围的交集为空集. 五．解决实际问题的解题过程

（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；

（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；

（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.

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高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 这些步骤用框图表示：

三．解应用题的一般程序

（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础； （2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；

（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；

（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果．

【方法讲评】

函数的模型1 指数函数模型 解题步骤

【例1】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： （1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式； （2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；

(3) 计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）． （1.012?1.127,1.012?1.196,1.012?1.210）

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101516先建立指数函数模型，再解答. 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 【反馈检测1】1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.

（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？

（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？

以下数据供计算时使用：

数N 对数lgN 数N 对数lgN

【反馈检测2】(1)某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利)． (2) 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期 为x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？

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1.010 0.004 3 3.000 0.477 1 1.015 0.006 5 5.000 0.699 0 1.017 0.007 3 12.48 1.096 2 1.310 0.117 3 13.11 1.117 6 2.000 0.301 0 13.78 1.139 2 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 函数的模型2 对数函数模型 解题步骤

【例2】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行

先建立对数函数模型，再解答. 速度可以表示为函数V?5log2Q 10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．

(1) 试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？

(2) 当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

【反馈检测3】长春亚泰足球俱乐部准备为救助失学儿童在吉林省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y?lg2，则这三种门票的张数分别为 万张时可以为失学儿童募捐的纯收x入最大.

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高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 函数的模型3 分段函数模型 解题步骤

【例3】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用下图中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用下图中（2）的抛物线表示．

先建立分段函数模型，再解答.

（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P?f?t?；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q?g?t?；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? （注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天）

【反馈检测4】在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当0?x?20时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20?x?200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.

（1）当0?x?200时，求函数v?x?的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f?x??x?v?x?可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

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