幂法-反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应特征向量

数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量

一.幂法

1. 幂法简介：

当矩阵A满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。矩阵A需要满足的条件为： (1) |?1|?|?2|?...?|?n|?0,?i为A的特征值

xn

(2) 存在n个线性无关的特征向量，设为x1,x2,...,1.1计算过程：

n对任意向量x，有x(0)(0)???iui,?i不全为0，则有

i?1x(k?1)?Ax(k)?...?Ak?1x(0)??Aαiui??αiλik?1uik?1i?1i?1nn?? ?nk?1?2k?1?λ??1u1?()a2u2???()anun??1?1??k?1??1?1u1k?11?2|越小时，收敛越快；且当k充分大时，有可见，当|?1(k?1)k?1???1?1u1x(k?1)?x(k?1)????(k)x1，对应的特征向量即是。 (k)kx??x??1?1u1

2 算法实现

(1).输入矩阵A，初始向量x，误差限?,最大迭代次数N(2).k?1,??0;y(k)x(k)?max(abs(x(k))

(3).计算x?Ay,??max(x);(4).若|???|??,输出?,y,否则,转(5)(5).若 k?N, 置k?k?1,???,转3 ,否则输出失败信息,停机.3 matlab程序代码

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function [t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量 k=1。

z=0。 % z 相当于? y=x0./max(abs(x0))。 % 规范化初始向量 x=A*y。 % 迭代格式 b=max(x)。 % b 相当于 ?

if abs(z-b)

while abs(z-b)>eps && k

y=x./max(abs(x))。 x=A*y。 b=max(x)。 end

[m,index]=max(abs(x))。 % 这两步保证取出来的按模最大特征值 t=x(index)。 % 是原值，而非其绝对值。 end

4 举例验证

选取一个矩阵A，代入程序，得到结果，并与eig(A)的得到结果比较，再计算

A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。结果如下：

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结果正确，表明算法和代码正确，然后利用此程序计算15阶Hilb矩阵，与eig(A)的得到结果比较，再计算 A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。设置初始向量为x0=ones(15,1)，结果显示如下

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