2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题一、选择题:1 ?8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.(1) 设{x n}是数列,下列命题中不正确的是()(A)若limxn?a,则limx2n?limx2n?1?a
n??
n??
n??
(B)若limx2n?limx2n?1?a,则limxn?a
n??
n??
n??
(C)若limxn?a,则limx3n?limx3n?1?a
n??
n??
n??
(D)若limx3n?limx3n?1?a,则limxn?a
n??
n??
n??
(2)设函数f?x?在???,???内连续,其2阶导函数f???x?的图形如右图所示,则曲线y?f?x?的拐点个数为()(A)0(3)设D?
(B)1(C)2(D)3
??x,y?x
2cos?2
?y2?2x,x2?y2?2y,函数f?x,y?在D上连续,则(?2?42sin????f?x,y?dxdy?
D
)(A)??
?40
d??d??
1
0
f?rcos?,rsin??rdr??d??f?rcos?,rsin??rdr??d??f?x,y?dyf?x,y?dy
)(B)?2?40
f?rcos?,rsin??rdr
(B)?
40
2sin?2cos?0x
0
f?rcos?,rsin??rdr
(C)2dx
0
??
10
1?1?x22x?x2(D)2dx
???
x
(4)下列级数中发散的是((A)n
?nn?13
?
n?1?
??
11ln(1?)nn(?1)n?1
(C)?lnnn?2
(D)n!
nn?1n
??1?
?111?????
(5)设矩阵A??12a?,b??d?.若集合???1,2?，则线性方程组Ax?b
??
?14a2??d2???
??
有()(A)a??,d??(C)a??,d??
(B)a??,d??(D)a??,d??
2
2
2
无穷多解的充分必要条件为：(6)设二次型f?x1,x2,x3?在正交变换x?Py下的标准形为2y1?y2?y3，其中P?(e1,e2,e3)，若Q?(e1,?e3,e2)则f?(x1,x2,x3)在正交变换x?Qy下的标准形为()2
2
2
(A)2y1?y2?y3(B)2y1?y2?y3
222
(C)2y1?y2?y3
222
(D)2y1?y2?y3
()222
(7)若A,B为任意两个随机事件,则:(A)P?AB??P?A?P?B?(C)P?AB??
(B)P?AB??P?A?P?B?(D)P?AB??
P?A??P?B?2P?A??P?B?2(8)设总体X~B?m,??,X1,X2,?,Xn为来自该总体的简单随机样本,X为样?n
本均值,则E?Xi?X??i?1
??????
2
()(A)?m?1?n??1???(B)m?n?1???1???(D)mn??1???(C)?m?1??n?1???1???二、填空题：9?14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.．．．(9)lim
ln(cosx)
?__________.
x?0x2
(10)设函数f(x)连续，?(x)?(11)若函数z?z(x,y)由方程e
?
x2
0
xf(t)dt,若?(1)?1,??(1)?5,则f(1)?________.?xyz?1确定，则dz
(0,0)
x?2y?3z
?_________.
(12)设函数y?y(x)是微分方程y???y??2y?0的解，且在x?0处取得极值3，则y(x)?________.
(13)设3阶矩阵A的特征值为2,?2,1，B?A?A?E,其中E为3阶单位矩阵，则行列式B?________.
(14)设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0)，则P{XY?Y?0}?_________.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)2
设函数f(x)?x?aln(1?x)?bxsinx,g(x)?c?kx.若f(x)与g(x)在x?0时是等价无穷小，求a,b,k的值.3
(16)(本题满分10分)计算二重积分??x(x?y)dxdy，其中D?{(x,y)x
D
2
?y2?2,y?x2}.
(17)(本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q为该商品的需求量，P为价格，MC为边际成本，?为需求弹性(??0).(I)证明定价模型为P?
MC
；11?
?(II)若该商品的成本函数为C(Q)?1600?Q，需求函数为Q?40?P，试由（I）中2
的定价模型确定此商品的价格.(18)(本题满分10分)设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0?I，曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x?x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)?2，求f(x)
表达式.(19)(本题满分10分)（I）设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明[u(x)v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x);（II）设函数u1(x),u2(x),?,un(x)可导，f(x)?u1(x)u2(x)?un(x)，写出f(x)的求导公式.(20)(本题满分11分)?a10???3
设矩阵A=1a?1，且A?O.???01a???
(I)求a的值；2
2
(II)若矩阵X满足X?XA?AX?AXA?E，其中E为3阶单位矩阵，求X.(21)(本题满分11分)?02?3??1?20?????设矩阵A??13?3相似于矩阵B=0b0.?????1?2a??031?????
（I）求a,b的值；（II）求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵.?1
(22)(本题满分11分)?x
??2ln2,x?0
设随机变量X的概率密度为f?x???
x?0??0,
对X进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数(I)求Y的概率分布；(II)求E(Y).(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为?1
,??x?1,?
f(x,?)??1???其他,?0,
其中?为未知参数，X1,X2,?,Xn为来自该总体的简单随机样本.(I)求?的矩估计量；(II)求?的最大似然估计量.
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)
