第7章 系统的性能分析与校正
控制系统良好的稳定性是其正常工作的必要条件，在进行系统设计时往往发现设计出来的系统不能满足指标的预期要求，且有时相互矛盾。如当提高系统的稳定精度时，其稳定性下降；反之系统有了足够稳定性时，精度又可能达不到要求，这就要求调整系统中原有的某些参数，或者在原系统中加入某些环节使其全面满足给定的设计指标要求。
7.1 频域性能指标与时域性能指标关系
一个控制系统可以分为被控制对象和控制器两大部分。被控制对象包括了执行器，它是推动负载对象的基本部分，其结构在全工作过程中，结构形式和参数属于不可变的，通常称为系统的固有部分；如何设计出一个符合系统的性能指标要求的控制器，成为反馈控制系统研究的重要内容。这一节侧重讨论系统性能指标，根据性能指标设计控制器将在本章中讨论。控制系统的性能包括稳定性、快速性、准确性、抗干扰能力。分别从以下五个方面说明：
(1) 稳定性指在干扰去除后，系统恢复原有工作状态的能力。稳定性与惯性不同，惯性是系统试图保持原有运动状态的能力。
(2) 瞬态性能指系统受到输入作用后，系统输出和内部状态参数在整个时间过程中表现出来的特性。控制系统分析与设计中，对单输入单输出系统，通常关心系统在输入作用后较短时间内，输出的结果；侧重讨论响应过渡过程中各时间指标和动态误差的变化规律。
(3)准确性能指系统受到输入作用后，系统输出和内部状态参数在足够长的时间后表现出来的特性。主要讨论足够长时间后，系统稳态误差与系统结构及输入信号形式的关系和特征。
(4) 对参数变化的不敏感性指当系统中结构参数变化时，系统保持原有运动状态的能力。 (5) 抗噪声能力指当系统承受噪声污染后，系统保持原有运动状态的能力。
抗噪声能力是系统抗外部干扰的能力；而对参数变化的不敏感性是系统抗内部干扰的能力。抗噪声能力强调干扰的持续作用，这一点有别于稳定性。
从控制系统工程实现的基本要求上，设计出一个性能优越的系统，其基本任务是使系统的稳定性储备充足、快速性好且被控制量准确。系统对参数变化的不敏感性和抗噪声能力不在本书讨论范围内，因此，这里讨论的性能指标也就是稳定性储备、快速性、稳态误差和误差准则。稳定性在前面已经讨论，使用误差来改善系统性能指标将在本节最后误差准则中讨论。控制系统可以在频率域和时间域内进行分析，因此，讨论系统快速性的指标相应地有时域性能指标和频域性能指标两种指标形式，两种性能指标间存在相互等价转换的关系，在下面分别进行讨论。
7.1.1 时域性能指标
时域性能指标包括瞬态性能指标和稳态性能指标。为了系统的时域性能指标分析上的方便并具有可比性，现约定：(1) 设计的闭环系统为单位反馈系统，如图7-1所示；(2) 取输入信号为单位阶跃函数，即Xi(s)=1/s；(3) 系统的初始状态为零状态。 为了表征系统的时域瞬态性能指标，一典型系统对单位阶跃输入信号的响应曲线如图7-2所示，对应的理论输出达到稳态时响应值等于参考输入，特规定如下性能指标。
1. 延迟时间td：输出量第一次达到稳态值一半的时间。
2. 上升时间tr：输出量第一次达到稳态值xo(∞)
xo(t) 1 0.9 0.5 0.1 0 td tp ts 图7-2单位阶跃响应曲线 Mp xi + ? 图7-1 单位反馈系统
Go(s)xo ?=?0.02或?0.05 tr t 1
的时间。对于无振荡的系统，常把响应曲线由稳态值的10%到90%的时间作为上升时间。
3. 峰值时间tp：输出量第一次达到峰值的时间。
4. 过渡过程时间或调整时间ts：输出量xo(t)与稳态值xo (∞)之间的差值达到允许范围?并维持在此范围内所需的时间。?为稳态误差的允许值，一般取?为2%或5%。
5. 超调量Mp：输出量最大值xop超过xo (∞)或给定值的百分数，超调量有时被称为最大超调量，表示为
Mp?[(xop?xo(?))/xo(?)]?100% (7-1)
一般情况下，要求Mp值在5%～35%之间。
6. 振荡次数N：在调节时间ts 内，输出偏离稳态值的振荡次数。
上述几项指标中，上升时间tr 及调整时间ts标志暂态过程的快速性，而超调量Mp及振荡次数N标志暂态过程的准确性。
系统的误差也属于时域性能指标范围，由于在定义调整时间概念时使用了允许稳态误差，因此，第4章的误差分析用于评价系统的误差特性而不作为性能指标来要求系统，使用误差来改善系统性能指标将在本节最后误差准则中讨论。
7.1.2 频域性能指标
频域性能指标包括稳定性储备指标和闭环频率性能指标。稳定性储备指标主要有：(1) 幅值储备Kg；(2) 相位储备?；(3) 剪切频率?c。闭环频率指标主要有：(1) 复现频率?m和复现带宽0~?m；(2) 谐振峰值Mr及谐振频率?r；(3) 截止频率?b及截止带宽0~?b。
这里讨论闭环频率性能指标。设反馈系统的闭环幅频特性曲线如图7-3所示，对应的闭环对数幅频特性曲线如图7.4所示所示，闭环系统频率域主要特征量表述如下：
(1) 零频值：是指频率等于零时的闭环幅值，即20lgG?j0?，记为A(0)。当A(0)=1 (即20lgA(0)=0)时，则系统阶跃响应的终值等于输入信号的幅值，稳态误差为零。当20lgA(0)?0时，则系统存在稳态误差，故零频幅值反映了系统的稳态精度。
(2) 谐振峰值Mr：若记对数幅频特性的最大值20lgG?j?r?为Amax，则谐振峰值定义为Amax/ A(0)，记为Mr。发生谐振峰值Mr对应的频率称谐振频率?r。由此定义，对二阶系统，可以求得
Mr?12?1??2 (7-2)
较大的Mr意味着系统的阻尼比小，阶跃响应将有较大的超调量，平稳性差；谐振峰值越大则稳定储备也就越小。一般情况下，要求Mr =1.2~1.5，以使得系统有适度的振荡，从而具有较好的快速性。
(3) 截止频率及截止带宽：如图7-4所示，当闭环对数幅频特性相对于零频值A(0)下降3dB时的对应频率?b，称为截止频率或带宽频率。截止频率的范围称截止频率带宽或简称为带宽，即0????b。在如图7.3所示闭环幅频特性图中，?b是闭环幅值曲线上0.707A(0)处所对应的频率。截止频率带宽频率范围越大，表明系统复现快速变化信号的能力越强，系统快速性好，阶跃响应上升时间和调整时间短；但另一方面系统抑制输入端高频噪声的能力弱。输入信号频率大于截止频率时，其响应幅值被大幅度衰减。
(4) 复现频率和复现带宽：如图7-4所示，复现频率是指幅频特性值20lgG(j?)与零频值之差不超出规定的幅值允许误差?所对应的最大频率，记为?m；复现频率的范围称复现带宽，即0????m。复现带宽表征了系统复现低频输入信号的能力，换言之，认为系统不能正确响应频率大于?m的输入信号；通常都不希望系统工作中产生谐振，于是，允许误差?的选取应该使?m
2
? A A(0) 0.707A(0) 0.5A(0) ? 0 20lgG?j??maxm20lg|G(j?)| 20lg|G(j?r)| 20lg|G(j0)| 3dB 图7-3 闭环幅频特性曲线
?r?0?b?0.5??r ?b ?
图7-4 闭环对数幅频特性曲线
7.1.3频域指标与时域性能指标的相互关系
这里主要讨论用以描述控制系统性能的时域性能指标与频域性能指标之间的关系，从而揭示出从不同角度、根据不同的方法来分析与设计控制系统的内在联系。
1. 闭环频率特性特征量与时域指标的关系 (1) 一阶系统
其闭环传递函数为
G(s)?1/(Ts?1)
其带宽为
?b?1/T
在第三章时域分析中可知，当取允许误差?=5%时
ts?3T，tr?2.2T
因此有关系
ts?3/?b，tr?2.2/?b
可见，带宽频率和调整时间成反比，和上升时间成反比。 (2) 欠阻尼二阶系统 设欠阻尼二阶系统为
2?n (7-3) G(j?)?22(j?)?2??n(j?)??n在时域分析中可知
ts?3.5??n、tr?????n1??2和tp???n1??2
根据闭环幅频特性及带宽频率定义可知
2?n2(j?)2?2??n(j?)??n?0.707
???b得?b与?n的关系式如下：
?b?{(1?2?2)?[(1?2?2)2?1]1/2}12??n (7-4)
可见，带宽?b与自然频率?n成正比。由此，可以推知，ts、tr和tp也都和?b成反比。
由tp表达式和式(7-2)代入?r??n1?2?2中，可得
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自动控制原理-第7章 系统性能与校正
