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南京市2024届高三年级学情调研
数 学 2017 .09
参考公式：
柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．若集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{0，2，3}，则P∩Q＝ ▲ ． 2．若(a＋bi)(3－4i)＝25 (a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b的值为 ▲ ．
3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业 倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽 取的学生人数为 ▲ ．
1
4．如图所示的算法流程图，若输出y的值为，则输入
2
x的值为 ▲ ．
5．记函数f(x)＝
4－3x－x2 的定义域为D．若在区间
[－5，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为 ▲ ． 6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦点到
169其渐近线的距离为 ▲ ．
x2y2
?2≤x≤4，
7．已知实数x，y满足条件?y≥3，则z=3x－2y的最大
?x＋y≤8，
值为 ▲ ．
y 8．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得 2 O ? 4? x (第9题） * *
圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为 ▲ cm2. 9．若函数f(x)＝Asin(?x＋?)(A＞0，?＞0，|?|＜?)的部分图 象如图所示，则f(－?)的值为 ▲ ．
10．记等差数列{an}前n项和为Sn．若am＝10，S2m－1＝110， 则m的值为 ▲ ． 11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f(－1)＝－2，则满
足f(2x－3)≤2的x的取值范围是 ▲ ．
17→→→12．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120?，BM＝λBC．若AM·BC＝－，则实数λ 3
→的值为 ▲ ．
13．在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的
对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为 ▲ ．
?2x2，x≤0，f (x)－a?14．已知函数f (x)＝若存在唯一的整数x，使得＞0成立，则实数ax?－3|x－1|＋3，x＞0．
的取值范围为 ▲ ．
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二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证： （1）平面AB1E⊥平面B1BCC1； （2）A1C//平面AB1E．
C1
C E B1
(第15题）
B
A1 A
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16．（本小题满分14分）
4
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．
5sinB（1）若c＝2a，求的值；
sinCπ
（2）若C－B＝，求sinA的值．
4
17．（本小题满分14分）
某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为
t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f(x)＝t1＋t2．
（1）求f(x)的解析式，并写出其定义域；
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（2）当x等于多少时，f(x)取得最小值？
18．（本小题满分16分）
33如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点(1，)．过
ab22椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x＝m(m＞a)于点M．已知点B(1，0)，直线PB交l于点N． （1）求椭圆C的方程；
（2）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．
x2y2
19．（本小题满分16分）
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已知函数f(x)＝2x3－3(a+1)x2＋6ax，a∈R．
（1）曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；
（2）若对于任意x∈(0，+∞)，f(x)＋f(－x)≥12lnx恒成立，求a的取值范围； （3）若a＞1，设函数f(x)在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M(a)、m(a)，
记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．
20．(本小题满分16分)
已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn， 且3Tn＝Sn2＋2Sn，n∈N*． （1）求a1的值； （2）求数列{an}的通项公式；
（3）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．
江苏地区南京市2024年度高三9月学情调研考试数学试题
