以3333??3，即?c?3．故c的取值范围为(,3)． 22sinB22
三、解答题
17．已知函数f(x)?sinx?3sinxsin?x?（1）求f(x)的最小正周期； （2）求函数f(x)的单调增区间；
（3）求函数f(x)在区间?0,??上的取值范围.
3【答案】（1）T??；（2）??【解析】
（1）f(x)?sinx?3sinxsin?x?所以T??． （2）由?22?????. 2??2????????3??k?,?k??,k?Z；（3）f(x)??0,?．
3?6??2???????2?1?cos2x3??1??sin2x?sin?2x??? 226?2??2?2k??2x??6??2?2k?，得 ??k??x?6??3?k?,k?Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是???????k?,?k??,k?Z.
3?6?（3）由x??0,???7????1??2???2x???,?sin2x?得，所以?????,1?， ???6?66?6??2??3???3???所以f(x)??0,?．
218．已知数列?an?是等比数列，公比q?1，若a2?2，a1?a2?a3?7. （1）求?an?的通项公式；
（2）设bn?log2an，求数列?bn?的前n项和.
3-n【答案】（1）an?2 ；（2）Tn?n?5?n?2.
【解析】
a1q?2,?（1）由已知得? 2a?aq?aq?7,1?11?a1?4,?a1?1,?则?或（舍去）. 1?q?,?q?2?2??1?所以an?4????2?n?1?23?n .
3?n（2）因为bn?log2an?log22?3?n.
所以数列?bn?是首项为2，公差为-1的等差数列. 设数列?bn?的前n项和为Tn , 所以Tn?n?2?3?n?2?n?5?n?2.
19．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1； (2)求证：AC⊥EF. 【解析】
(1)如图所示，连接CD1.
∵P、Q分别为AD1、AC的中点．∴PQ∥CD1. 而CD1?平面DCC1D1，PQ//平面DCC1D1， ∴PQ∥平面DCC1D1.
(2)如图，取CD中点H，连接EH，FH.
∵F、H分别是C1D1、CD的中点，在平行四边形CDD1C1中，FH//D1D. 而D1D⊥面ABCD，
∴FH⊥面ABCD，而AC?面ABCD， ∴AC⊥FH.
又E、H分别为BC、CD的中点，∴EH∥DB. 而AC⊥BD，∴AC⊥EH.
因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线，所以AC⊥平面EFH， 而EF?平面EFH，所以AC⊥EF.
20．某小区内有一块以O为圆心半径为20米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，观众席为梯形ABQPB分别在圆周上；内且在圆O外的区域，其中AP?AB?BQ，?PAB??QBA?120，且AB，PQ在点O的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米.设?OAB??,??(0,?3).
（1）求AB的长（用?表示）；
（2）对于任意?，上述设计方案是否均能符合要求？
【答案】(1) AB?40cos?. (2)能符合要求 【解析】
解：（1）过点O作OH垂直于AB，垂足为H. 在直角三角形OHA中，OA＝20，?OAH＝?， 所以AH＝20cos?，因此AB＝2AH＝40cos?. （2）由图可知，点P处的观众离点O最远 在三角形OAP中，由余弦定理可知
OP2?OA2?AP2?2OA?APcos（＝400??40cos??22?+?） 3?1?3?2?20?40cos????2cos??2sin???
???4006cos2??23sin?cos??1
??????4003cos2??3sin2??4?8003sin?2????1600．
3????因为???0,????3??，所以当2???6，即???12时，
?OP?max＝8003＋1600，
又?OP?max＝8003＋1600?3600 所以OP?60
所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米． 故对于任意?，上述设计方案均能符合要求． 21．已知二次函数（1）求
的解析式;
,使
的定义域与值域分别是
,若存在,求出
的值；若不存在,请说
的图象与轴交于点
,图象关于
对称,且
.
（2）是否存在实数明理由. 【答案】（1）【解析】 （1）
的图象与轴交于点
；（2）1；（3）存在，使的定义域与值域分别是.
，∴,
图象关于由∴（2）存在
得
对称，∴， ，解得
，
. ，使
的定义域与值域分别是
，
.
,对称轴为
① ,
是方程
,
②
,
或
（i）（ii）
,∴
,∴.
的其中两根, 或或
,,
(舍去)；
,即
,
,不满足
.
③若,,
?
?
∵故存在
,∴
，使
(舍去),
的定义域与值域分别是
.
,
.
22．设数列的前项和为，已知（），且.
（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，且证明；
湖南省邵东县第一中学、娄底三中2024-2024年高二上学期第一次月考 数学【含答案】
