点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及AC的长．
（1）证明：连接OC．
∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△OCB≌△OCD（SSS）， ∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（4﹣r）2＝r2+22， ∴r＝1.5， ∵tan∠E＝
＝
，∴
＝
，∴CD＝BC＝3， ＝．
＝3
．
在Rt△ABC中，AC＝
∴圆的半径为1.5，AC的长为3
24．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；
（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF； （3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN＝AM．
（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°， ∵AB＝2，∴AD＝BD＝DC＝
，
∵∠AMN＝30°，∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠MBD＝30°，∴BM＝2DM，
由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（解得，DM＝
，∴AM＝AD﹣DM＝
﹣
；
）2，
（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA）解：∴BE＝AF；
（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，∴∠AME＝90°， 则AE＝
AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，
∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＝∠AMN， 在△BME和△AMN中，
，
∴△BME≌△AMN（ASA），∴BE＝AN， ∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝
AM．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．
解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3，∴﹣∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4．
＝3，解得a＝﹣，
当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8， ∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
答：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）． （2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得
，解得
，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），如图所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），
则PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∴S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC＝×8×4+PD?OB
＝16+×8（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x+16＝﹣（x﹣4）2+32解： ∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32解： ∵0＜x＜8，
∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大．
答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32．
（3）设点M的坐标为（m，﹣∴MN＝|﹣
+
+4﹣（﹣+2m|＝3，
+2m﹣3＝0，解得m1＝2，m2＝6，
+
+4）则点N的坐标为（m，﹣
+2m|，
），
）|＝|﹣
又∵MN＝3，∴|﹣当0＜m＜8时，﹣
∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）； 当m＜0或m＞8时，﹣∴点M的坐标为（4﹣2
+2m+3＝0，解得m3＝4﹣2，
﹣1）或（4+2
，﹣
，m4＝4+2﹣1）．
，
答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣2
，
﹣1）或（4+2
，﹣
﹣1）．
中考数学试题-2024年山东省枣庄市中考试题包含答案
