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的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：
（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y?k(x?1)(k?0)． 设A(x1,y1),B(x2,y2)，
?y?k(x?1),2222由?2得kx?(2k?4)x?k?0． ?y?4x2k2?4． ??16k?16?0，故x1?x2?k224k2?4所以|AB|?|AF|?|BF|?(x1?1)?(x2?1)?．
k24k2?4?8，解得k??1（舍去）由题设知，k?1． 2k因此l的方程为y?x?1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y?2??(x?3)，即y??x?5．
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则
?y0??x0?5,?x0?3,?x0?11,?2解得?或? ?(y0?x0?1)2y??6.y?2?16.?0?0?(x0?1)??2因此所求圆的方程为(x?3)?(y?2)?16或(x?11)?(y?6)?144． 20．解：
（1）因为AP?CP?AC?4，O为AC的中点，所以OP?AC，且OP?23．
2222连结OB．因为AB?BC?且OB?AC，OB?2AC，所以△ABC为等腰直角三角形， 21AC?2． 2 word资料 整理分享
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由OP2?OB2?PB2知PO?OB． 由OP?OB,OP?AC知PO?平面ABC．
uuur（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O?xyz．
uuur由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,?2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP?(0,2,23),取uuur平面PAC的法向量OB?(2,0,0)．
uuur设M(a,2?a,0)(0?a?2)，则AM?(a,4?a,0)．
设平面PAM的法向量为n?(x,y,z)．
uuuruuur??2y?23z?0由AP?n?0,AM?n?0得?，可取
??ax?(4?a)y?0n?(3(a?4),3a,?a)，
uuur所以cosOB,n?uuur3|cosOB,n|?．
2所以23(a?4)23(a?4)?3a?a222．由已知得
23|a?4|23(a?4)2?3a2?a2=34．解得a??4（舍去），a?． 23uuuruuur834343,,?)．又PC?(0,2,?23)，所以cosPC,n?所以n?(?． 3334所以PC与平面PAM所成角的正弦值为
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21．解：
2?x（1）当a?1时，f(x)?1等价于(x?1)e?1?0．
设函数g(x)?(x?1)e2?x?1，则g'(x)??(x2?2x?1)e?x??(x?1)2e?x．
当x?1时，g'(x)?0，所以g(x)在(0,??)单调递减． 而g(0)?0，故当x?0时，g(x)?0，即f(x)?1． （2）设函数h(x)?1?axe．
2?xf(x)在(0,??)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,??)只有一个零点．
（i）当a?0时，h(x)?0，h(x)没有零点； （ii）当a?0时，h'(x)?ax(x?2)e?x．
当x?(0,2)时，h'(x)?0；当x?(2,??)时，h'(x)?0． 所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,??)单调递增． 故h(2)?1?4a是h(x)在[0,??)的最小值． 2e word资料 整理分享
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e2①若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)没有零点；
4e2②若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)只有一个零点；
4e2③若h(2)?0，即a?，由于h(0)?1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，
4由（1）知，当x?0时，ex?x2，所以
16a316a316a31h(4a)?1?4a?1?2a2?1??1??0．
e(e)(2a)4a故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,??)有两个零点．
e2综上，f(x)在(0,??)只有一个零点时，a?．
422．．解：
x2y2（1）曲线C的直角坐标方程为??1．
416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l的直角坐标方程为x?1．
（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
(1?3cos2?)t2?4(2cos??sin?)t?8?0．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则
t1?t2?0．
又由①得t1?t2??4(2cos??sin?)，故2cos??sin??0，于是直线l的斜率
1?3cos2?k?tan???2．
23．解：
?2x?4,x??1,?（1）当a?1时，f(x)??2,?1?x?2,
??2x?6,x?2.? word资料 整理分享
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可得f(x)?0的解集为{x|?2?x?3}． （2）f(x)?1等价于|x?a|?|x?2|?4．
而|x?a|?|x?2|?|a?2|，且当x?2时等号成立．故f(x)?1等价于|a?2|?4． 由|a?2|?4可得a??6或a?2，所以a的取值范围是(??,?6]U[2,??)．
21（12分）
已知函数f(x)?ex?ax2．
（1）若a?1，证明：当x?0时，f(x)?1； （2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a． 解：
（1）f?(x)?ex?2x，f??(x)?ex?2．
当x?ln2时，f??(x)?0，当x?ln2时，f??(x)?0，所以f?(x)在(??,ln2)单调递减，在(ln2,??)单调递增，故f?(x)?f?(ln2)?2?2ln2?0，f(x)在(??,??)单调递增．
因为x?0，所以f(x)?f(0)?1．
ex（2）当x?0时，设g(x)?2?a，则f(x)?x2g(x)，f(x)在(0,??)只有一个零点
x等价于g(x)在(0,??)只有一个零点．
ex(x?2)g?(x)?，当0?x?2时，当x?2时，所以g(x)在(0,2)g?(x)?0，g?(x)?0，3xe2单调递减，在(2,??)单调递增，故g(x)?g(2)??a．
4e2若a?，则g(x)?0，g(x)在(0,??)没有零点．
4e2若a?，则g(x)?0，g(x)在(0,??)有唯一零点x?2．
4ex1e2x2e?x?1，g(x)?2?a?2?1?a，若a?，因为g(2)?0，由（1）知当x?0时，
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故存在x1?(0,1)?(0,2)，使g(x1)?0． a?1e4ae4ag(4a)??a??a 2216a16aex?x2，
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（完整word版）2018年高考全国2卷理科数学带答案解析
