令2????≤2??+??
4≤2????+??，??∈??； 解得???????
8≤??≤????+
3??8
，??∈??；
所以??(??)的单调递减区间为[???????
+3??8,?????8
]，??∈??；
若??(????
0)＝?1，则√2cos(2??0+4)＝?1， 即cos(2??0+??
24)=?√2
，
再由??0∈(???,???
??
7??2)，可得2??0+4∈(?4
,??
3??
4
)； 所以2??0+??
5??4=?
，解得??0=?3??
4
4
． 【考点】
三角函数中的恒等变换应用 三角函数的周期性及其求法 【解析】
（1）化函数??(??)余弦型函数，根据余弦函数的图象与性质求出??(??)的最小正周期和单调减区间； （2）由三角函数值求角，要注意角的取值范围． 【解答】
函数??(??)＝(cos???sin??)2?2sin2?? ＝1?2sin??cos???2?1?cos2??
2
＝cos2???sin2?? =√2cos(2??+??
4)，
所以函数??(??)的最小正周期为??=
2??2
=??，
又函数??＝cos??的单调减区间为[2????,?2????+??]，??∈??； 令2????≤2??+??
4≤2????+??，??∈??； 解得???????
8≤??≤????+
3??
8
，??∈??； 所以??(??)的单调递减区间为[???????
3??
8,?????+8
]，??∈??；
若??(????
0)＝?1，则√2cos(2??0+4)＝?1， 即cos(2??0+??
)=?√242
，
再由??0∈(???,???
??
2)，可得2??0+4∈(?7??4
,??
3??
4)； 所以2??0+??
5??4=?
，解得??03??
4
=?4
． 【答案】
数列{????}满足????+2+????=2????+1,??∈???，
第11页 共18页可得????+2?????+1＝????+1?????，即{????}为等差数列， ??1＝1，??4＝7，可得公差??=
??4???14?1
=2，
则????＝1+2(???1)＝2???1；
数列{????}的前??项和????=2??+1?2， 可得??1＝??1＝4?2＝2；
??≥2时，????＝??????????1＝2??+1?2?2??+2＝2??， 则????＝2??，??∈???；
????=2????+??????2????=22???1+??，
则前??项和????＝(2+8+...+22???1)+(1+2+...+??) =
2(1?4??)121
1?4
+2
??(??+1)=3
(4???1)+2
(??2+??)．
【考点】 数列递推式 数列的求和 【解析】
（1）由题意可得????+2?????+1＝????+1?????，即{????}为等差数列，由等差数列的通项公式可得公差??，进而得到所求通项公式；由数列的递推式：??1＝??1，??≥2时，????＝??????????1，化简可得所求通项公式；
（2）求得????=2????+??????2????=22???1+??，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和． 【解答】
数列{????}满足????+2+????=2????+1,??∈???，
可得????+2?????+1＝????+1?????，即{????}为等差数列， ????1＝1，??4＝7，可得公差??=
4???14?1
=2，
则????＝1+2(???1)＝2???1；
数列{????}的前??项和????=2??+1?2， 可得??1＝??1＝4?2＝2；
??≥2时，????＝??????????1＝2??+1?2?2??+2＝2??， 则????＝2??，??∈???；
????=2????+??????2????=22???1+??，
则前??项和????＝(2+8+...+22???1)+(1+2+...+??) =
2(1?4??)12??1
1?4
+2??(??+1)=3(4?1)+2(??2+??)．
【答案】
∵ √2cos??=sin(??+??)+1．sin(??+??)＝sin??， ∴ √2cos??＝sin??+1，又sin2??+cos2??＝1， 化为：3sin2??+2sin???1＝0，1>sin??>0． 联立解得sin??=1
3．
?????=??2，又??+??+??＝??，可得：2??=??
2???，??为钝角．∴ sin2??＝cos??．又??=√3， ∴ ??
??
√3sin??=sin??=
1=3√3，
3
∴ ??＝3√3sin??，??＝3√3sin??， ??为锐角，∴ cos??=
2√23
． 第12页 共18页
◎∴ △??????的面积??=2????sin??=2×3√3sin??×3√3sin??×3=2sin??sin(2+??)=2sin??cos??=4sin2??=cos??=4×4
9
9
2√23
1119??99
又??1>1，??2>1，
∴ ln??1??2＝ln??1+ln??2＝ln??1+2+ln??2+2?4 =[(ln??1+2)+(ln??2+2)]?(
32
4ln??1+2
=
3√2． 2
+
4
ln??2+2
)?4，
∴ ∴ △??????的面积??为3√2．
2
24(ln??2+2)4(ln??1+2)=[8++]?4 3ln??1+2ln??2+2【考点】 220≥(8+2√16)?4=， 33正弦定理
【解析】 4(ln??2+2)4(ln??1+2)
=当且仅当，即??1＝??2时，取“＝”， ln??1+2ln??2+2（1）由√2cos??=sin(??+??)+1．sin(??+??)＝sin??，√2cos??＝sin??+1，又sin2??+cos2??＝1，化简解出． （2）?????=????
2，又??+??+??＝??，可得：2??=2???，??为钝角．可得sin2??＝cos??．又??=√3，利用正弦定理可得：??＝3√3sin??，??＝3√3sin??，代入△??????的面积??=1
2????sin??，进而得出结论． 【解答】
∵ √2cos??=sin(??+??)+1．sin(??+??)＝sin??， ∴ √2cos??＝sin??+1，又sin2??+cos2??＝1， 化为：3sin2??+2sin???1＝0，1>sin??>0． 联立解得sin??=1
3．
?????=??，又??+??+??＝??，可得：2??=??
22???，??为钝角．∴ sin2??＝cos??．又??=√3，
∴ ??
??
√3sin??=sin??=
1=3√3，
3
∴ ??＝3√3sin??，??＝3√3sin??， ??为锐角，∴ cos??=
2√23
． ∴ △??????的面积??=1
1
×3√3sin??×3√3sin??×1
9
??
9
9
2????sin??=23=2sin??sin(2+??)=2sin??cos??=4sin2??=
94
cos??=9
2√2√24
×
3
=
32
． ∴ ∴ △??????的面积??为3√22
．
【答案】 由题意得??(??)=
ln??+2?4ln??+2
=1?
4
ln??+2
，
由??≥1，知ln??≥0，于是ln??+2≥2， ∴ 0<114
ln??+2≤2，即?2≤?ln??+2<0， ∴ ?1≤1?4
ln??+2<1， ∴ ??(??)的值域为[?1,?1)． ??(??1)+??(??4
1
2)＝1?ln??1
+1?4
+2
ln??2
+2
=2， 所以4
ln??
1+2
+4
ln??
2+2
=3
2，
第13页 共18页 故(??1??2)min＝??
203
，
∵ ??(??)在(1,?+∞)上是增函数， ∴ ??(??1??2)min=7
13． 【考点】
利用导数研究函数的最值 【解析】 （1）??(??)=
ln??+2?4ln??+2=1?41ln??+2，由??≥1，知ln??≥0，于是ln??+2≥2，0 2，即?2≤?ln??+2< 0，?1≤1?4 ln??+2<1，即可求出值域． （2）先求出(??201??2)min＝??3 ，又因为??(??)在(1,?+∞)上是增函数，所以??(??1??2)min=7 13． 【解答】 由题意得??(??)= ln??+2?4ln??+2 =1? 4 ln??+2 ， 由??≥1，知ln??≥0，于是ln??+2≥2， ∴ 0<114 ln??+2≤2，即?2≤?ln??+2<0， ∴ ?1≤1?4 ln??+2<1， ∴ ??(??)的值域为[?1,?1)． ??(????(??4 1)+2)＝1?ln?? 1+2 +1? 4ln??2 =1 +22 ， 所以4 4 3 ln?? 1 +2 +ln?? 2 +2 =2， 又??1>1，??2>1， ∴ ln??1??2＝ln??1+ln??2＝ln??1+2+ln??2+2?4 =2 3[(ln??1+2)+(ln??2+2)]?(4 4 ln?? 1 +2 +ln??2+2 )?4， =24(ln??2+2)4(ln??3[8+ln??+1+2)]?4 1+2ln??2+2≥2 3(8+2√16)?4=203 ， 当且仅当 4(ln??2+2)ln??1+2 = 4(ln??1+2)ln??2+2 ，即??1＝??2时，取“＝”， 第14页 共18页 ◎故(??1??2)min＝?? 203 ， ∵ ??(??)在(1,?+∞)上是增函数， ∴ ??(??1??2)min=7 13． 【答案】 ：∵ ??′(??)＝?????2????＝??(?????? ?2??)， 令??(??)=?????? ， 则??′(??)= (???1)???? ?? ， 当01时，??′(??)>0，??(??)单调递增，且??→+∞时，??(??)→+∞， ∴ ??(??)min＝??(1)＝??， ①当2??≤??即??≤1 2??时，??′(??)≥0，??(??)在(0,?+∞)上单调递增，没有极值， ②当??>1 2??时，存在00，??(??)单调递增， 当??∈(??1,???2)时，??′(??)<0，??(??)单调递减， ∴ ??2是??(??)的极小值，综上可得，??>1 2?? 要证??(??)>????(ln?????)，即证????>????ln??， ①当01，????ln??≤0，显然成立， ②当??>1时，??ln??>0，结合已知0 21 2??可得，01 22??ln??， 即证 2?????2?? ?ln??>0， 令??(??)=2?????2?? ?ln??， 则??′(??)= 2?????2(???1)??? ??2 ， 令?(??)＝2?????2(???1)???， 则?′(??)＝2???????2?1，且在(0,?+∞)上单调递增， ∵ ?′(1)=2 ???1<0，?′(2)＝3>0， 存在??0∈(1,?2)使得?(??0)＝0，即2??0????0?2=1， ∴ ?(??)在(1,???0)上单调递减，在(??0,?+∞)上单调递增， 又?(1)＝?1<0，?(2)＝0， 故当??∈(1,?2)时，??′(??)<0，??(??)单调递减，当??∈(2,?+∞)时，??′(??)>0，??(??)单调递增， ∴ ??(??)≥??(2)＝1?ln2>0， 故??(??)>0，得证． 【考点】 第15页 共18页利用导数研究函数的极值 【解析】 （1）结合含 的导数与单调性与极值的关系，对??进行分类讨论即可求解， （2）要证??(??)>????(ln?????)，即证????>????ln??，构造函数，结合函数的导数与函数单调性的关系进行转化，可证， 【解答】 ：∵ ??′(??)＝?????2????＝??(?????? ?2??)， 令??(??)= ?????? ， 则??′(??)= (???1)???? ?? ， 当01时，??′(??)>0，??(??)单调递增，且??→+∞时，??(??)→+∞， ∴ ??(??)min＝??(1)＝??， ①当2??≤??即??≤1 2??时，??′(??)≥0，??(??)在(0,?+∞)上单调递增，没有极值， ②当??>1 2??时，存在00，??(??)单调递增， 当??∈(??1,???2)时，??′(??)<0，??(??)单调递减， ∴ ??2是??(??)的极小值，综上可得，??>1 2?? 要证??(??)>????(ln?????)，即证????>????ln??， ①当01，????ln??≤0，显然成立， ②当??>1时，??ln??>0，结合已知0 1 2??2可得，01 22??ln??， 即证 2?????2?? ?ln??>0， 令??(??)=2?????2?? ?ln??， 则??′(??)= 2?????2(???1)??? ??2 ， 令?(??)＝2?????2(???1)???， 则?′(??)＝2???????2?1，且在(0,?+∞)上单调递增， ∵ ?′(1)=2 ???1<0，?′(2)＝3>0， 存在??0∈(1,?2)使得?(??0)＝0，即2??0????0?2=1， ∴ ?(??)在(1,???0)上单调递减，在(??0,?+∞)上单调递增， 又?(1)＝?1<0，?(2)＝0， 故当??∈(1,?2)时，??′(??)<0，??(??)单调递减，当??∈(2,?+∞)时，??′(??)>0，??(??)单调递增， ∴ ??(??)≥??(2)＝1?ln2>0， 故??(??)>0，得证． 第16页 共18页 ◎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】 ??=cos??+√3sin?? ，两边平方作和得， 由{ ??=sin???√3cos????2+??2=(cos??+√3sin??)2+(sin???√3cos??)2=4， ∴ 曲线??的普通方程为??2+??2＝4． ∵ ??2+??2＝??2，∴ ??2＝4，则??＝2； 把??=3代入??cos(???6)=3，可得??cos(3?6)=3， ?? ?? ?? ?? 绝对值不等式的解法与证明 【解析】 （1）利用分类讨论思想解绝对值不等式；（2）由绝对值不等式的性质，求出??的范围． 【解答】 当??＝2时，??(??)＝|???2|+|??+1|?5， 当??≤?1，??(??)＝?(???2)?(??+1)?5≥0，解得??≤?2； 当?1 由??(??)＝|?????|+|??+1|?5≥|(?????)?(??+1)|?5＝|??+1|?5≥?2， 解得??=2√3． 所以|??+1|≥3， 即??点的极径为????=2√3． 即??≥2或者??≤?4． 由（1）得????＝2， ∴ |????|＝|?????????|=2√3?2． 【考点】 参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】 （1）把{ ??=cos??+√3sin????=sin???√3cos?? 两式平方相加可得曲线??的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化可得极坐标方程； （2）把??=?? ?? 3代入??cos(???6)=3，求得??点的极径，由（1）得??点的极径，则|????|可求． 【解答】 由{ ??=cos??+√3sin????=sin???√3cos?? ，两边平方作和得， ??2+??2=(cos??+√3sin??)2+(sin???√3cos??)2=4， ∴ 曲线??的普通方程为??2+??2＝4． ∵ ??2+??2＝??2，∴ ??2＝4，则??＝2； 把??=?? ?? ?? ?? 3代入??cos(???6)=3，可得??cos(3?6)=3， 解得??=2√3． 即??点的极径为????=2√3． 由（1）得????＝2， ∴ |????|＝|?????????|=2√3?2． [选修4-5：不等式选讲] 【答案】 当??＝2时，??(??)＝|???2|+|??+1|?5， 当??≤?1，??(??)＝?(???2)?(??+1)?5≥0，解得??≤?2； 当?1 由??(??)＝|?????|+|??+1|?5≥|(?????)?(??+1)|?5＝|??+1|?5≥?2， 所以|??+1|≥3， 即??≥2或者??≤?4． 【考点】 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页
2024年全国Ⅲ卷高考理科数学全真模拟试卷(二)
