2024年全国Ⅲ卷高考理科数学全真模拟试卷（二）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知??＝{??∈???|??≤3}，??＝{??|??2?4??≤0}，则??∩??＝（ ） A.{1,?2,?3} B.{1,?2} C.(0,?3]
2. 若????2
C.|??|+|??|>|??+??|
3
D.3√??>√??
3. 下列函数中的定义域为??，且在??上单调递增的是（ ）
B.??(??)=√?? A.??(??)＝??2
C.??(??)＝ln|??| D.??(??)＝??2??
4. 等差数列{????}的前??项和为????，若??3＝2，??3＝3，则??6＝（ ） A.4 B.5 C.10
5. 已知函数??(??)=A.?2
→
6. 已知命题??：函数??=sin??+sin??,??∈(0,??)的最小值为2√2；命题??：若向量??，??，满足→?????=?????，则→
2
→
→
→
→
2??2???1
1
1
A.??＝0.25??
C.??＝log7??+1
??
????
B.??＝1.002??
??
D.??=tan(?1)
10
11. 函数??(??)=sin(????+6)(??>0)在(?2,2)上单调递增，且图象关于??＝???对称，则??的值为（ ）
D.(3,?4]
A.3
12. 在△??????中，角??为3，角??的平分线????交????于点??，已知????=2√3，且??????=?????1????(??∈??)，则????
3
??
→
→
→
→
2
B. 3
5
C.2
D.3
8
在????方向上的投影是（ ） A.1
B.2 3
→
C.3
D.3√3
2
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．
已知函数??(??)的定义域为??，且满足??(??)＝??(??+2)，当??∈[0,?2]时，??(??)＝????，则??(7)＝________．
→
已知向量??=(?2,?2)，向量??的模为1，且|???2??|＝2，则??与??的夹角为________．
→
→
→
→
→
D.15
，若??(???)＝2，则??(??)＝（ ）
B.?1
C.0
D.2
1
2024年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72√2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为________（结果保留根号）．
??=??．下列正确的是（ ）
B.??∨?? A.￢??∧??
1
→
C.??∧￢?? D.￢??∧￢??
7. 若??=(3)0.6，??＝3?0.8，??＝ln3，则??，??，??的大小关系（ ） A.??>??>??
B.??>??>??
C.??>??>??
D.??>??>??
若函数??(??)=2??2+??(ln?????)???有且仅有一个零点，则实数??的取值范围________． 三、填空题：共70分．
已知函数??(??)＝(cos???sin??)2?2sin2??．
（1）求函数??(??)的最小正周期与单调递减区间；
（2）若??(??0)＝?1，且??0∈(???,?2)，求??0的值．
已知数列{????}满足????+2+????=2????+1,??∈???，且??1＝1，??4＝7，数列{????}的前??项和????=2??+1?2． （1）求数列{????}{????}的通项公式；
（2）设????=2????+??????2????，求数列{????}的前??项和????．
??
1
2?????≤0
8. 已知??，??满足约束条件{?????+1≥0 ，则??＝2??+??的最小值为（ ）
??+???1≥0A.4
B.2
C.1
D.3
1
9. 设函数??(??)＝???????ln??（其中常数??≠0）的图象在点（1,???(1)）处的切线为??，则??在??轴上的截距为（ ） A.1 B.2 C.?????1 D.1?2????
10. 某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金??（单位：万元）随销售利润??（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845）（ ）
第1页 共18页 ◎ 第2页 共18页
已知△??????中三个内角??，??，??满足√2cos??=sin(??+??)+1． （1）求sin??；
（2）若?????=??
2，??是角??的对边，??=√3，求△??????的面积．
已知函数??(??)=
ln???2ln??+2．
（1）求函数??(??)在区间[1,?+∞)上的值域；
（2）若实数??1，??2均大于1且满足??(??1)+??(??2)=1
2，求??(??1??2)的最小值．
已知函数??(??)＝?????????2，??∈??，??∈(0,?+∞)． （1）若??(??)存在极小值，求实数??的取值范围；
（2）若0
??22
，求证：??(??)>????(ln?????)．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系??????中，曲线??的参数方程为{
??=cos??+√3sin??,??=sin???√3cos?? （??为参数），以坐标原点0为极点，??的
正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线??的极坐标方程??cos(?????
6)=3． （1）求曲线??的普通方程与极坐标方程；
（2）设射线????:??=??
3与曲线??交于点??，与直线??交于点??，求线段????的长． [选修4-5：不等式选讲]
设函数??(??)＝|?????|+|??+1|?5(??∈??)． （1）当??＝2时，求不等式??(??)≥0的解集；
（2）若??(??)≥?2，求实数??的取值范围．
第3页 共18页 第4页 共18页◎
【解答】
参考答案与试题解析
2024年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 由题意得{
??3=??1+2??=2??3=3??1+
3×22
??=3
，
解得??1＝0，??＝1，
∴ ??6＝??1+5??＝5． 5.
1.
【答案】 A
【考点】
交集及其运算 【解析】
先求出集合??，解一元二次不等式??2?4??≤0解出集合??，从而求出??∩??． 【解答】
由题意得：??＝{??∈???|??≤3}＝{1,?2,?3}，??＝{??|??2?4??≤0}＝{??|0≤??≤4}， ∴ 所以??∩??＝{1,?2,?3}， 2.
【答案】 C
【考点】 不等式的概念 【解析】
利用不等式的基本性质、特殊值法即可得出． 【解答】
∵ ??
??2，由函数??=3√??在??上单调递增，可得：3√??<3
??√??．
设??＝?2，??＝?1时，|??|+|??|＝|??+??|与??矛盾．
因此只有??错误． 3.
【答案】 D
【考点】
函数单调性的性质与判断 【解析】
分别结合函数的定义域及函数的单调性分别对选项进行判断即可． 【解答】
由??(??)=√??的定义域为[0,?+∞)，不符合题意， ??：函数的定义域??≠0，不符合题意，
??:??＝??2在(?∞,?0]单调递减，在[0,?+∞)单调递增，不符合题意， 4.
【答案】 B
【考点】
等差数列的前n项和 【解析】
利用等差数列的通项公式、前??项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出??6．第5页 共18页 【答案】 B
【考点】 函数的求值 求函数的值 【解析】
推导出??(???)+??(??)＝1，由此利用??(???)＝2，能求出??(??)的值． 【解答】 ∵ ??(??)=
2??2???1
，
∴ ??(???)+??(??)=
2???2??12??2????1
+
2???1
=
1?2??+
2???1
=1，
∵ ??(???)＝2，∴ ??(??)＝?1． 6.
【答案】 D
【考点】
复合命题及其真假判断 【解析】
由基本不等式成立的条件知，可求得函数??=2
sin??+sin??,??∈(0,??)的最小值不为2√2，可判断命题??的真假；由向量的数量积没有约去律，可判断命题??的真假，再由复合命题真假表判断正误即可． 【解答】
由题意得：命题??：函数??=2
2sin??+sin??,??∈(0,??)，由基本不等式成立的条件，??≥2√sin??
?sin??=2√2，知等号取不到，所以??命题是假的；
命题??：若向量??→
，??→
，满足→?????→
=??→
?→??，∴ ??→
?(??→?→??)=0，??→
，??→
???→
有可能是零向量或者??→
⊥(??→?→
??)，所
以??是错误的．
∴ ￢??∧??，??∨??，??∧￢??，是假命题，￢??∧￢??为真命题； 7.
【答案】 B
【考点】
对数值大小的比较 【解析】
由指数函数??=(1
3)??在??上单调递减，可得??，??大小关系，再利用对数函数的单调性可得：??＝ln3∈(1,?2)，即可得出大小关系． 【解答】
第6页 共18页
◎由指数函数??=(111
3)??在??上单调递减，又??=(0.63)，??＝3?0.8=(3)0.8，
∴ 1>??>??． ??＝ln3∈(1,?2) ∴ ??>??>??． 8.
【答案】 C
【考点】 简单线性规划 【解析】
作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数??＝2??+??的几何意义，利用数形结合即可的得到结论． 【解答】
2?????≤0
先根据??，??满足线性约束条件{?????+1≥0 画出可行域，
??+???1≥0
平移直线0＝2??+??，当直线??＝2??+??过点??(0,?1)时，??取最小值为1． 9.
【答案】 A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】
求出原函数的导函数，得到??′(1)，再求出??(1)，利用直线方程的点斜式求切线??，取??＝0求解??在??轴上的截距． 【解答】
由??(??)＝???????ln??，得??
′
(??)=???????1
??，
∴ ??′(1)＝?????1，又??＝1时，??(1)＝????，
∴ ??(??)在点（1,???(1)）处的切线方程为???(????)＝(?????1)(???1)， 取??＝0，得在??轴上截距??＝(?????1)(0?1)+????＝1． 故选：??． 10.
【答案】 C
【考点】
函数与方程的综合运用 【解析】
分析题意可得，函数模型应满足如下两个条件①奖金??≤5；②奖金??≤0.25??．且10≤??≤1000，运用排除法即可求解． 【解答】
由题意得：有两个条件①奖金??≤5；②奖金??≤0.25??．且10≤??≤1000． ??选项，当??≥20时，??≥5，不符合题意．
??选项，当??＝1000时，1.0021000≈7.37，也超出了5，不符合题意．
??选项，当??＝1000时，??=tan(??
10?1)=??＝tan(2)是一个负数，不符合题意．
第7页 共18页 11.
【答案】 A
【考点】
正弦函数的图象 【解析】
根据函数递增，求出??的范围，根据题意，求出??的范围，再根据图象关于??＝???对称，确定出??． 【解答】
要使函数??(??)=sin(????+??
6)(??>0)的递增，
则???
??
??
2??
2??????2+2????≤????+6≤2+2????(??∈??)，化简得：?3??+??
≤??≤
3??
+
2??????
(??∈??)，
2????
已知在(?????
?3??≤?2
2,2)单增，所以{??
，故0≤??≤2
3，
3??
≥
??2
又因为图象关于??＝???对称，????+??
??
1
6=2+????(??∈??)，所以??=?3???， 因为??>0，此时??＝?1，所以??=2
3， 12. 【答案】 D
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算 【解析】
根据??，??，??三点共线求出??，建系计算??，??两点坐标，得出????，再计算投影即可． 【解答】
由??????→
=????→
?1????→
可得：????→
→
1→3
=??????+3
????，
∵ ??，??，??三点共线，故??+12
3=1，即??=3． ∴ ????→
=2????→
+1→
3
3
????．
以??为原点，以????为??轴建立平面直角坐标系如图所示，则??(3,?√3)， 设??(??,?0)，??(??,?√3??)，
3=2
1
由????→
=2????→
+1→
3??+3??
33
????得：{√3=√3 ，解得??＝3，??＝3． 3??
故??(3,?0)，
∴ ????→
在????→
上的投影为|????|cos30°=3√32
． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．
【答案】 ??
【考点】 函数的求值
第8页 共18页
◎求函数的值 【解析】
求出周期??＝2，利用当??∈[0,?2]时，??(??)＝????，??(7)＝??(1)，能求出结果． 【解答】
因为??(??)＝??(??+2)，周期??＝2， 当??∈[0,?2]时，??(??)＝????， ∴ ??(7)＝??(1)＝??． 故答案为：??． 【答案】 ??4 【考点】
数量积表示两个向量的夹角 【解析】
由题意利用两个平面向量的数量积的定义，求得??→
与??→
的夹角的余弦值，可得??→
与??→
的夹角． 【解答】
由已知得：|??→
|＝2√2，|??→
|＝1，|??→?2??→
|＝2，→??2?4??→
???→
+4??→
2＝4，
∴ 设??→
与??→
的夹角为??，??∈[0,???]，→?????→
=2＝2√2?1?cos??，∴ cos??=√22，??=??
4，
【答案】 72√33
【考点】 解三角形 【解析】
先根据已知条件在△?????? 中求出????，再在直角△????1???中利用正切即可求出结论． 【解答】
如图由题上条件可得线????平行于东西方向 ，∠??????＝60°，∠??????＝75°；????＝72√2； ∴ ∠??????＝135°；∠??????＝30°；
在△?????? 中，????
????
????
72√272√2×1
2sin∠??????=sin∠???????sin30=sin135?????=√2=72．
2如图
??1??⊥平面??????，在直角△????1???中，tan∠??1?????=??1??????
=?
??????＝?????tan∠??1?????＝72×tan∠30°=72√33
．【答案】
{??|??=?1
2或??≥0}
【考点】
第9页 共18页利用导数研究函数的单调性
【解析】
分离参数??，先证明??＝???ln??≠01；解得：??=
2??2???1
???ln??
；由于函数??(??)=22??+??(ln?????)???有且仅有一
1个零点；设??(??)=2??2???
???ln??，??＝??；所以直线??＝??与函数??(??)有且只有一个交点；研究函数??(??)的图象特点及
单调性，画出大致图象，即可得出结果． 【解答】
于是??(??)＝???ln??在(0,?1)上递减，在(1,?+∞)上递增；最小值为??(1)＝1>0， ∴ ???∈(0,?+∞)，???ln??>0(1)由??(??)＝0，即1
2
12??+??(ln?????)???＝0，解得：??=
2??2??????ln??
(2)设??(??)=
12
??2???1
???ln??
，??＝??(3)由于函数??(??)=22??+??(ln?????)???有且仅有一个零点（4）所以直线??＝??与函数??(??)有
1
且只有一个交点（5）由??′
(??)=2(???1)(??+2?2ln??)(???ln??)2
，此时不能完全判断导函数值的正负（6）再令?(??)＝??+2?
2ln??， 得?′(??)=
???2??
，当??∈(0,?2)时，?′(??)<0；当??∈(2,?+∞)时，?′(??)>0(7)于是，?(??)在(0,?2)上递减，
(2,?+∞)上递增．
那么?(??)≥?(2)＝2(2?ln2)>0． 由此，??′(??)的正负只同???1有关，
由此得??(??)在(0,?1)上递减，在(1,?+∞)上递增，且??(??)的极小值为??(1)=?1
2(8)又??→0时，??(??)→0；??→+∞时，??(??)→+∞(9)??(??)图象大值如图所示， 结合??(??)的图象，得??≥0或??=?1
2． 故答案为：{??|??=?1
2或??≥0}．
三、填空题：共70分．
【答案】
函数??(??)＝(cos???sin??)2?2sin2?? ＝1?2sin??cos???2?
1?cos2??
2
＝cos2???sin2?? =√2cos(2??+??
4)，
所以函数??(??)的最小正周期为??=
2??2
=??，
又函数??＝cos??的单调减区间为[2????,?2????+??]，??∈??；
◎ 第10页 共18页
2024年全国Ⅲ卷高考理科数学全真模拟试卷(二)
