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核心素养测评 四十三
数列建模问题 (30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.70周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象,展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心,在阅兵活动的训练工作中,不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备,还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析,有效保证了阅兵活动的顺利进行,假如训练过程中第一天产生的数据量为a,其后每天产生的数据量都是前一天的q(q>1)倍,那么训练n天产生的总数据量为( ) A.aqn-1 B.aqn C.
D.
【解析】选D.训练过程中第一天产生的数据量为a,其后每天产生的数据量都是前一天的q(q>1)倍,那么训练n天产生的总数据量为: Sn=a+aq+aq2+…+aqn-1=
.
2.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知
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她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,若要使织布的总尺数不少于30,该女子所需的天数至少为 ( ) A.10 B.9 C.8 D.7 【解析】选C.设该女子第一天织布x尺, 则
=5,解得x=,
所以前n天织布的尺数为(2n-1),
由(2n-1)≥30,得2n≥187,解得n的最小值为8.
3.我国古代数学名著《九章算术》中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两步为:
第一步:构造数列1,,,,…,.①
第二步:将数列①的各项乘以,得到一个新数列a1,a2,a3,…,an. 则a1a2+a2a3+a3a4+…+an-1an= ( ) A. B.C.
D.
【解析】选C.由题意知所得新数列为1×,×,×,…,×,所以a1a2+a2a3+a3a4+…+an-1an==
+
+
++…+
+-+…+=
=
.
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4.中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言.”题意是:把996斤绵分给8个儿子做盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多分17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是 ( ) A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤
【解析】选B.设8个儿子从大至小分得的绵构成的数列是{an},设大儿子分到的绵是x斤,依题意知8个儿子分到的绵构成以a1=x为首项,d=17为公差的等差数列,记其前n项和为Sn,则有Sn=8x+
×17=996,
即8x+476=996,解得x=65.故第8个儿子分到的绵a8=65+7×17=65+119=184(斤). 二、填空题(每小题5分,共20分)
5.如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形,…,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形,且其最大的正方形的边长为________.
,则其最小正方形的边长为
【解析】由题意,得正方形的边长构成以
为首项,以
为公比的等比数列,现已
知共得到1 023个正方形,则有1+2+…+2n-1=1 023,所以n=10,所以最小正方形的边长为
×=.
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答案:
6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB,然后每3秒自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机________秒,该病毒占据内存 8 GB.(1 GB=210 MB)
【解析】由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an},且a1=2,q=2,所以an=2n,则2n=8×210=213,所以n=13.即病毒共复制了13次,所以所需时间为13×3=39(秒). 答案:39
7.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
【解析】设倒n次后纯酒精与总溶液的体积比为an, 则an=答案:4
8.定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”的个数为________.
,由题意知
<10%,所以n≥4.
【解析】由题意可得a1=0,a8=1,a2,a3,…,a7中有3个0,3个1,且满足对任意k≤8,都有a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,利用列举法可得不同的“规范01数列”有00 001 111,00 010 111,00 011 011,00 011 101,00 100 111, 00 101 011,00 101 101,00 110 011,00 110 101,01 000 111,01 001 011,
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01 001 101,01 010 011,01 010 101,共14个. 答案:14
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给股东们分红500万元.该企业2024年年底分红后的资金为1 000万元.
(1)求该企业2024年年底分红后的资金.
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元. 【解析】设an为(2024+n)年年底分红后的资金, 其中n∈N*,则a1=2×1 000-500=1 500,
a2=2×1 500-500=2 500,…,an=2an-1-500(n≥2).所以an-500=2(an-1-500)(n≥2), 即数列{an-500}是首项为a1-500=1 000,公比为2的等比数列.所以an-500=1 000×2n-1,
所以an=1 000×2n-1+500.
(1)a4=1 000×24-1+500=8 500,所以该企业2024年年底分红后的资金为8 500万元.
(2)由an>32 500,即2n-1>32,得n>6,所以该企业从2025年开始年底分红后的资金超过32 500万元.
10.科学研究证实,二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响,环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨,否则将采取紧急限排措施.已知A市2024年的碳排放总量为400万吨,通过技术改造和倡导低碳生活等措施,此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少
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