《数学分析》教案
an?1＞b[(n+1)a-nb]。 （1）
n
以a=1+
1?11?,b?1?代入（1）式证明?(1?)n?为递增数列。
n?n?1n?1?1?代入（1）式得数列?(1?)n?有上界。
n?2n?再以a=1，b=1?1??由单调有界定理推知数列?(1?)n?是收敛的。
n??1通常无理数（待证）e的定义为lim(1?)n?e，以e为底的对数称为自然对
n??n数，通常记lnx?logex。
注：单调有界定理只是数列收敛的充分条件，但却与下面数列收敛的充分必
要条件等价。
二、柯西（Cauchy）收敛准则
定理2.10 数列?an?收敛的充要条件是：对任给的?＞0，存在正整数N，使得当n，m＞N时有
an?am＜?。
注：应再给出两种等价形式。 注：这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题，它的证明将在第七章给出。
柯西收敛准则的条件称为柯西条件。
其直观意义：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分到后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数。或者形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。
优点：柯西收敛准则把?—N定义中an与a的关系换成了an与am的关系，其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。
例5 证明：任一无限十进小数a=0.b1b2…bn…的n位不足近似（n=1，2，…）所组成的数列
bb1b1bbb,?2,?,1?2???n,? 10101021010210n（2）
满足柯西条件（从而必收敛），其中bk为0，1，2…，9中的一个数，k=1，2，…。
分析 证
复习思考题、作业题：
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《数学分析》教案
1，2，3，6，7
- 12 -
(完整word版)数学分析数列极限
