《数学分析》教案
第二章 数列极限
§1 数列极限概念
教学目的与要求：
使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点：
数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入
1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。
2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，
日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 1111，2，3，……，n，…… 2222?1?或简记作数列：?n?
?2??1?分析：1°、?n?随n增大而减小，且无限接近于常数0；
?2?2°数轴上描点，将其形象表示：
二、数列极限定义
1°将上述实例一般化可得：
n数形结合方法 -1 0 221 121 χ 将其一般化，即引出“数列极限”概念 当n无限增大时 an无限接近常数a 对数列?a?，若存在某常数a，当n无限增大时，an能无限接近常数a，则称该数为收敛数列，a为它的极限。
1?例如：???， a=0；
?n??(?1)n??3??， a=3; n???n?， a不存在，数列不收敛；
2为什么强调存在N - 1 -
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?(?1)?， a不存在，数列不收敛；
n2°将“n无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N，当n＞N时” 将“an无限接近a”，数学“符号化”为：任给ε＞0a(?1)n?3?()例如对???以n??n?a＜ε 3
为极限，对ε=110an?a?3?任给—：无限接，要使 =1?n110(?1)n?3n
只需取N=10，即可
3°“抽象化”得“数列极限”的定义
定义：设?a?是一个数列，a是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在
n某一自然数N，使得当n＞N时，都有
an?a＜ε
则称数列?a?收敛于a，a为它的极限。记作
n
liman?a｛(或an→a,(n→?)) n??说明
（1）若数列?a?没有极限，则称该数列为发散数列。
nan?a的具（2）数列极限定义的“符号化”记法： 这是用极限定义证明limn??体方法 liman?an?????＞0，?N，当n＞N，有an?a＜ε （为什么？）思考 （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意的，但在求N时，又可视为是给定．．．．的，由“任意性”可知，不等式an?a＜ε，可用an?a＜2ε，an?a＜ε2……来代替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？） 思考 双重性 （4）上述定义中N的双重性：N是仅依赖于ε的自然数，有时记作N=N（ε）（这．．并非说明N是ε的函数， （为什么？）思考 是即：N是对应确定的！但N又不是唯一的，只要存在一个N，就会存在无穷多．．．．．．．．
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个N
（为什么？） 思考 an?a： （5）如何用肯定的语气叙述limn???N，?n。尽管??0＞0，
n。＞N，但ano?aan?a≥ε。这是用极限定义证明limn??的具体方法 （6）如何用肯定的语气叙述，数列?a?发散：
n?a?R ，??O??O(a)＞0，?N，?no,尽管
no＞N，但ano?a≥εo。
an?a的几何意义： （7）limn??
aN a-ε an a 或an a+ε 或aN χ 即a的任给ε邻城，都存在一个足够大的确定的自然数N，使数列?an? 中,所有下标大于N的an,都落在a的ε邻城内。
an?a 的例题 .三、用极限定义证明limn??例1.证明lim1n??nk?0（K为正实数）
证：由于
11?0? nknk?1??1???k?所以?ε＞0，取N=??,当n＞N时,便有
?1N=?1?k??????1?0?? kn注：或写作：?ε＞0，取
111?0???，∴limnnKnKn??，当n＞N时，有
k?0
例2. 证明limn??3n2?3 n2?43n21212?3?2???（为简化，限定n?3 分析，要使2n?4n?4n只要n?12?
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??12??证.???0,取N?max???,3?,当n?N,有
?????3n21212?3?2???2n?4n?4n
3n2由定义lim?3 n??n2?4适当予先限定n＞n。是允许的！但最后取N时要保证n＞n。 例3．证明limq=0，这里q＜1
nn??证.若q=0,结果显然成立
1若0＜q＜1，令q=(h＞0)
1?h由于qn?q?n111由贝努利不等式≤＜ n(1?h)1?nhnh?1?所以，??＞0，取N=??,当n＞N，有qn?0＜?
??h?注：1°特别地写当q=
1时，此即为上述实例中的lim(1)22２°贝努利不等式（１＋h）n≥1+nh.
n??n?0
3°由例2、例3看出，在由an?a＜ε中求N时，适当的 “放大”不等式，可以简化运算。而“放大”的技巧应引起同学们注意体验、总结。如：用已知不等式，用限定“n＞n。”等方法。 例4．证明limn??na?1，其中a＞1
证.令a-1=?，则?＞0
由贝努利不等式 ?=（1+?）n≥1+n?=1+n（a??1n1n?1）或an?1≤
1a?1 na?1? ＞0，取N=???，当n＞N有a???1n?1＜ε 思考：这里取N=a?1也可以，为?什么？
四、等价定义与无穷小数列
定义1? 任给?＞0，若在U（a;?）之外数列?an?中的项至多只有有限个，
则称数列?an?收敛于极限a。
?0)由定义1? 可知，若存在某?0＞0，使得数列?an?中有无穷多个项落在U(a；
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之外，则?an?一定不以a为极限。
例5 证明?n2?和?(?1)n?都是发散数列。 分析 利用定义1? 证
例6 设limxn?limyn?a，作数列﹛zn﹜如下：
n??n??﹛zn﹜：x1，y1，x2，y2，…，xn，yn，…。
证明 limzn?a。
n??分析 利用定义1? 证
例7 设?an?为给定的数列，?bn?为对?an?增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明：数列?bn?与?an?同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。
分析 利用定义1?
证 设?an?为收敛数列，且liman=a。按定义1?，……。
n??现设?an?发散，倘若?bn?收敛，则因?an?可看成是对?bn?增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，?an?收敛，矛盾。所以当?an?发散时?bn?也发散。
在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：
定义2 若liman?0，则称?an?为无穷小数列。
n??前面例1、2、4中的数列都是无穷小数列。由无穷小数列的定义，读者不难证明如下命题：
定理2. 1 数列?an?收敛于?的充要条件是：?an???为无穷小数列。 五、小结：(可以师生共同总结，或教师引导学生小结，然后教师再条理一下)
本节课重点在于“数列极限的概念”，而“用极限定义证明极限”的例
题学习也是为了巩固
极限概念。为此，同学们要注意：
重 点 1°极限概念的“ε-N”叙述要熟练掌握，并注意理科ε，N的双重性。 难 点 2°用极限定义证明极限时，关键是由任给的ε＞0通过反解不等式｜
an-a｜＜ε求N，其中的若干技巧在于化简不等式。特别注意不等式的
“放大”要适度；即要尽可能化简，又不要过度，N的表达式一定仅依赖于ε，当然N是否是自然数，倒是无关紧要的。
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(完整word版)数学分析数列极限
