第二章 函数与导数第9课时 指数函数、对数函数及幂函数(3) (对应学生用书(文)、(理)24～25页)
考情分析 考点新知 ① 对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主；考查形式主要是填空题，同时也有综合性较强的解答题出现，目的是结合其他章节的知识，综合进行考查. ② 幂函数的考查较为基础，以常见的5种幂函数为载体，考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点． 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性；掌握对数函数图象通过的特殊点. ② 知道对数函数是一类重要的函数模型. ③ 了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的相互关系(a>0，a≠1). ④ 了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x－2的图象，了解它们的变化情况.
1. (必修1P112测试8改编)已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(2)>f(3)，则实数a的取值范围是________． 答案：(0，1)
解析：因为f(2)>f(3)，所以f(x)＝logax单调递减，则a∈(0，1)．
?1?2. (必修1P89练习3改编)若幂函数y＝f(x)的图象经过点9，3，则f(25)＝________．
??
1
答案：5 1111
解析：设f(x)＝xα，则3＝9α，∴ α＝－2，即f(x)＝x－2，f(25)＝5. 1－x
3. (必修1P111习题15改编)函数f(x)＝ln是________(填“奇”或“偶”)函数．
1＋x答案：奇
1＋x1－x?1－x?－1
解析：因为f(－x)＝ln＝ln?1＋x?＝－ln＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
1－x1＋x??4. (必修1P87习题13改编)不等式lg(x－1)<1的解集为________.
答案：(1，11)
解析：由0 f（x1）＋f（x2） 5. (必修1P87习题14改编)对于任意的x1、x2∈(0，＋∞)，若函数f(x)＝lgx，则2 与f ?x1＋x2?的大小关系是______________________. ?2? ? ? f（x1）＋f（x2）?x1＋x2?答案：≤f 22解析：(解法1)作差运算； f（x1）＋f（x2）?x1＋x2?的几何意义，通过函数f(x)＝lgx图象可得． (解法2)寻找与f22 ?? 1. 对数函数的定义 一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2. 对数函数的图象与性质 图 a>1 0 5. 幂函数的性质 函数特 征性质 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 [备课札记] 1y＝x2 {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增 y＝x R R 奇 增 (1，1) y＝x2 R {y|y≥0} 偶 y＝x3 R R 奇 y＝x－1 {x|x∈R且x≠0} {y|y∈R且y≠0} 奇 (－∞，0)减，(0，＋∞)减 (－∞，0]减， 增 [0，＋∞)增 题型1 对数函数的概念与性质 1 例1 (1) 设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差是2，则a＝________； (2) 若a＝log0.40.3，b＝log54，c＝log20.8，用小于号“<”将a、b、c连结起来________； 2??(3) 设f(x)＝lg1－x＋a是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________； ?? (4) 已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m、n满足m 大值为2，则m、n的值分别为________. 1 答案：(1) 4 (2) c＜b＜a (3) －1＜x＜0 (4) 2，2 1 解析：(1) ∵ a>1，∴ 函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上是增函数，∴ loga2a－logaa＝2，∴ a＝4. (2) 由于a>1，0 1＋x??1－x>0，1＋x (3) 由f(－x)＋f(x)＝0，得a＝－1，则由lg<0，得?解得－1 1－x1＋x ??1－x<1， (4) 结合函数f(x)＝|log2x|的图象，易知0 解得m＝2， 所以n＝2. 变式训练 2 (1) 设loga3＜1，则实数a的取值范围是________； (2) 已知函数f(x)＝lg(x2＋t)的值域为R，则实数t的取值范围是________； (3) 若函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1，0)上有f(x)>0，则函数f(x)的单调减区间是________； (4) 若函数f(x)＝log1(x2－2ax＋3)在(－∞，1]内为增函数，则实数a的取值范围是________． 22 答案：(1) 0＜a＜3或a＞1 (2) a≤0 (3) (－1，＋∞) (4) [1，2) 解析：(1) 分a＞1与a＜1两种情形进行讨论． (2) 值域为R等价于x2＋a可以取一切正实数． (3) 函数f(x)的图象是由y＝loga|x|的图象向左平移1个单位得到，∴ 0 ??a≥1， (4) 令g(x)＝x2－2ax＋3，则?解得1≤a<2. ?g（1）>0，? 题型2 幂函数的概念与性质 例2 已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数． (1) 求m的值； mm (2) 求满足不等式(a＋1)－3<(3－2a)－3的实数a的取值范围． 解：(1) 因为函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上是减函数，所以3m－9<0，所以m<3. 因为m∈N*，所以m＝1或2. 又函数图象关于y轴对称，所以3m－9是偶数，所以m＝1. mm11 (2) 不等式(a＋1)－3<(3－2a)－3即为(a＋1)－3<(3－2a)－3. 1 结合函数y＝x－3的图象和性质知： a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a. 23 解得a<－1或3 23 即实数a的取值范围是a<－1或3 ?1?已知幂函数y＝f(x)经过点2，8. ?? (1) 试求函数解析式； (2) 判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间． 1 解：(1)由题意，得f(2)＝2a＝8故函数解析式为f(x)＝x－3. (2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 因为f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数． 其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞). 题型3 指数函数、对数函数的综合问题 例3 已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1) 求k的值； a＝－3， ?2x－4a?， (2) 设g(x)＝log4a·若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范3 ? ? 围． 解：(1) 由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)， ∴ log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx. log4 4x＋1 ＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立， 4－x＋1 1 ∴ k＝－2. 1?2x－4a?有且 (2) 函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－2x＝log4a·3 ?? 14只有一个实根，化简得方程2x＋2x＝a·2x－3a有且只有一个实根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t24 －3at－1＝0有且只有一个正根． ①a＝1a＝－3 3 t＝－4，不合题意；②a≠1时，Δ＝0 33 a＝4或－3.若a＝4 t＝－2，不合题意，若a>1. －11 t＝2；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即<0a－1 综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)． 备选变式（教师专享） 已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)． (1) 求函数y＝f(x)的定义域； (2) 在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴； (3) 当a、b满足什么关系时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值． a?a?解：(1) 由ax－bx>0，得bx>1，因为a>1>b>0，所以b>1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0， ??＋∞)． (2) 设x1>x2>0，因为a>1>b>0，所以ax1>ax2，bx1 (3) 由(2)知，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a－b)≥0，即a－b≥1，所以当a≥b＋1时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值． 1. (2013·南师大模拟)已知函数f(x)＝log2x－2log2(x＋c)，其中c>0，若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c的取值范围是________．
2015年高考数学总复习教案：2.9指数函数、对数函数及幂函数(3)
