2024年
【2024最新】精选高考数学一轮总复习第5章数列5-2等差数列及其前n
项和模拟演练理
[A级 基础达标](时间：40分钟)
1．已知等差数列{an}中，a4＋a5＝a3，a7＝－2，则a9＝( ) A．－8 B．－6 C．－4 D．－2 答案 B
解析 解法一：由已知可得解得a1＝10，d＝－2，所以a9＝10＋(－2)×8＝－6，选B.
解法二：因为a4＋a5＝a3，所以a3＋a6＝a3，a6＝0，又a7＝－2，所以d＝－2，a9＝－2＋(－2)×2＝－6，选B.
2．{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7＝5，S7＝21，则S10＝( ) A．40 B．35 C．30 D．28 答案 A
解析 由S7＝＝21，所以a1＝1，又a7＝a1＋6d.所以d＝，故S10＝10a1＋×＝40.选A.
3．[2017·太原模拟]在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝( )
A．－1 B．0 C. D.2 答案 B
解析 由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝，数列{an}单调递增，∴a2＝，a4＝，∴公差d＝＝，
∴a1＝a2－d＝0.
4．[2017·沈阳质量监测]设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8 答案 D
解析 解法一：由题知Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2，Sn＋2＝(n＋2)2，由Sn
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＋2－Sn＝36，得(n＋2)2－n2＝4n＋4＝36，所以n＝8.
解法二：Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n＝8.
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9 答案 A
解析 设等差数列{an}的公差为d，∵a4＋a6＝－6，
∴a5＝－3，∴d＝＝2，∴a6＝－1<0，a7＝1>0，故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.
6．[2017·温州模拟]在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11等于________．
答案 132
解析 S11＝＝11a6，设公差为d，由a9＝a12＋6，得a6＋3d＝(a6＋6d)＋6，解得a6＝12，所以S11＝11×12＝132.
7．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，则n等于________．
答案 10
解析 ∵2an＝an－1＋an＋1，又an－1＋an＋1－a＝0， ∴2an－a＝0，即an(2－an)＝0.∵an≠0，∴an＝2. ∴S2n－1＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.
8．已知数列{an}中，a3＝7，a7＝3，且是等差数列，则a10＝________. 答案
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解析 设等差数列的公差为d， 则＝，＝. ∵是等差数列，
∴＝＋4d，即＝＋4d，解得d＝， 故＝＋7d＝＋7×＝，解得a10＝.
9．[2016·全国卷Ⅱ ]等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通项公式；
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(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解 (1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3，解得a1＝1，d＝，
所以{an}的通项公式为an＝. (2)由(1)知，bn＝.
当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1； 当n＝4,5时，2<<3，bn＝2； 当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3； 当n＝9,10时，4<<5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 10．设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn＋2an＝2(n∈N*)． (1)求证：数列是等差数列；
(2)设bn＝(1－an)(1－an＋1)，求数列{bn}的前n项和Sn. 解 (1)证明：∵Tn＋2an＝2， ∴当n＝1时，T1＋2a1＝2， ∴T1＝，即＝.
又当n≥2时，Tn＝2－2×，得Tn·Tn－1＝ 2Tn－1－2Tn， ∴－＝，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列． (2)由(1)知，数列为等差数列， ∴＝＋(n－1)＝， ∴an＝＝，
∴bn＝(1－an)(1－an＋1)＝＝－， ∴Sn＝＋＋…＋＝－＝.
[B级 知能提升](时间：20分钟)
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a9＝24，则S9＝( A．36 B．72 C．144 D．70 答案 B
) 2024年
解析 解法一：由a2＋a4＋a9＝24，得3a1＋12d＝24(其中d为{an}的公差)，即a1＋4d＝8，即a5＝8，所以S9＝×9＝9a5＝72.
解法二：∵a1＋a5＝a2＋a4，∴a2＋a4＋a9＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24，∴a5＝8，∴S9＝9a5＝72.
12．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝，则＝( ) A. C．7 答案 D
解析 ＝＝＝＝＝＝.
13．[2017·贵阳检测]等差数列{an}中，a1＝20，若仅当n＝8时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则该等差数列的公差d的取值范围为________．
205?－，－答案 ??7?
2??
2721
B.8 D.4
解析 由题意知所以?
??a1＋7d>0，
?
?a1＋8d<0，?
?a8>0，???a9<0，
即所以－ 14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n＋1. (1)证明：数列是等差数列； (2)若不等式2n2－n－3<(5－λ)an对任意的n∈N*恒成立，求λ的取值范围． 解 (1)证明：当n＝1时，S1＝2a1－22，得a1＝4. Sn＝2an－2n＋1， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n，两式相减得 an＝2an－2an－1－2n，即an＝2an－1＋2n， 所以－＝－＝＋1－＝1，又＝2，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)知＝n＋1，即an＝n·2n＋2n. 因为an>0，所以不等式2n2－n－3<(5－λ)an等价于 5－λ>. 记bn＝，b1＝－，b2＝，当n≥2时，＝＝，则＝，即b3>b2，所以当n≥3时，<1，所以(bn)max＝b3＝，所以λ<.
2024高考数学一轮总复习第5章数列5-2等差数列及其前n项和模拟演练理
