圆锥曲线的综合问题
[考纲传真] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．
1．直线与圆锥曲线的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0， ?Ax＋By＋C＝0，由?消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0. ?F?x，y?＝0
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0?直线l与圆锥曲线C有两个公共点；
Δ＝0?直线l与圆锥曲线C有一个公共点； Δ＜0?直线l与圆锥曲线C有零个公共点．
(2)当a＝0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．
当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．
当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个． 2．圆锥曲线的弦长公式
设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
1＋k2|x1－x2|＝
1＋k2·?x1＋x2?2－4x1x2＝
1
1＋k2|y1－y2|＝
11＋2·?y1＋y2?2－4y1y2. k[常用结论]
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一
条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点．( ) (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点．( ) (3)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.( )
(4)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
x2y2
2．(教材改编)直线y＝k(x－1)＋1与椭圆9＋4＝1的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
A [直线y＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]
3．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选A.]
4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．
3 [结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0). ]
x22
5．(教材改编)已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线4－y＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
2
x22
4 [由题意可设直线l的方程为y＝m，代入4－y＝1得x2＝4(1＋m2)，所以x1＝4?1＋m2?＝21＋m2，x2＝－21＋m2，所以|AB|＝|x1－x2|＝41＋m2≥4，即当m＝0时，|AB|有最小值4.]
第1课时 直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线的位置关系
1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A．有且只有一条 C．有且只有三条
B．有且只有两条 D．有且只有四条
p
B [设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋2＋p
xB＋2＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．]
x2y2
2．若直线y＝kx＋1与椭圆5＋m＝1总有公共点，则m的取值范围是( ) A．m>1 C．0 B．m>0 D．m≥1且m≠5 1 D [由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0 3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( ) ?1515? ? A.?－，33?? ?15? ? C.?－ 3，0?? ?15? ? B.?0， 3?? ??15 ? D.?－ 3，－1?? 3
2020年高考数学一轮复习 直线与圆锥曲线
