第七章 不等式 7.1 不等关系与不等式
考纲要求
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
2．掌握不等式的性质，会用不等式的性质进行不等式的运算、证明和比较数或式的大小．
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b＞0?________；a－b＝0?________；a－b＜0?________. 2．不等式的基本性质 性质 性质内容 注意 对称性 a＞b?________ ? 传递性 a＞b，b＞c?________ ? 可加性 a＞b?________ ? a?b可乘性 c?0?________ ?a?bc的符号 ??c?0?________ 同向可加性 ??a?b?c?d?________ ? 同向同正 ?可乘性 ?a?b?0?c?d?0?________ ? 可乘方性 a＞b＞0?________ (n∈N，n≥2) 可开方性 a＞b＞0?________ 同正 (n∈N，n≥2) 3．不等式的一些常用性质 (1)倒数性质
①a＞b，ab＞0?11
a__________b；
②a＜0＜b?11
a__________b；
③a＞b＞0,0＜c＜d?a__________bcd；
④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?1b__________11
x__________a.
(2)有关分数的性质 若a＞b＞0，m＞0，则
①真分数的性质：b__________
b＋maa＋m，ba__________b－ma－m(b－m＞0)．
②假分数的性质：ab__________a＋mb＋m，ab__________a－mb－m(b－m＞0)．
4．(1)若a＞0，则|x|＜a?__________. (2)若a＞0，则|x|＞a?__________.
1
1．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )． 11A．＜
ab22
B．a＞b
abC．2＞2 c＋1c＋1D．a|c|＞b|c|
2．下面的推理过程
?a>b?ac>bc?
??ac＞bd?＞，其中错误之处的个数是( )．
dcc>d?bc>bd??
abA．0 B．1 C．2 D．3
11
3．设a＞0，b＞0，若lg a和lg b的等差中项是0，则＋的最小值是( )．
abA．1 B．2 C．4 D．22
4．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y；②a＋x＞b＋y；③ax＞by；④x－b＞y－a；⑤
ab＞这五个式子中，恒成立的不等式的序号是__________． yx
一、用不等式(组)表示不等关系
【例1】某蔬菜收购点租用车辆，将100 t新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆大卡车载重8 t，运费960元，每辆农用车载重2.5 t，运费360元，总运费不超过13 000元，据此安排两种车型，应满足哪些不等关系，请列出来．
方法提炼
1．常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 大于，高于， 小于，低于， 大于等于，至 小于等于，至语言 超过 少于 少，不低于 多，不超过 符号 ＞ ＜ ≥ ≤ 语言 2．注意变量的实际意义 体积、面积、长度、重量、时间等均为非负实数．
请做演练巩固提升4
二、比较实数(或代数式)的大小
【例2－1】已知在等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，试比较与的大小． 【例2－2】已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：
S3S5
a3a5
ea－cb－d＞e. 方法提炼
比较大小的方法 1．作差法
其一般步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方和式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
2．作商法
其一般步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论． 3．特例法
若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路．
2
11nn4．注意：a＞b?＜和a＞b?a＞b(n∈N，且n＞1)成立的条件．
ab请做演练巩固提升2,5
错用不等式性质求范围致误
2
【典例】设f(x)＝ax＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
??1≤f错解：由?
?2≤f?
－1≤2，1≤4，
??1≤a－b≤2， ①
得?
?2≤a＋b≤4. ②?
3
①＋②得≤a≤3，
21
②－①得≤b≤1.
2
由此得4≤f(－2)＝4a－2b≤11. ∴f(－2)的取值范围是[4,11]．
正解：法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m、n为待定系数)， 则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
???m＋n＝4，?m＝3，于是?解得?
?n－m＝－2，?n＝1.??∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10. 即5≤f(－2)≤10.
??f法二：由?
?f?
－1＝a－b，1＝a＋b，－1＋f11－f－1
1a＝[f??2得?1
b＝??2[f]，].
∴f(－2)＝4a－2b ＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10， 即5≤f(－2)≤10. 答案：[5,10]
答题指导：利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，要特别注意．错因在于运用同向不等式相加这一性质时，不是等价变形，导致f(－2)的取值范围扩大．另外，本题也可用线性规划求解，题中a、b不是相互独立的，而是相互制约的，故不可分割开来．先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等式关系的运算求得待求整体的范围是避免错误的一条途径．
1
1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的( )．
aA．充分而不必要条件
3
B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
abba2．比较大小：ab__________ab(a＞0，b＞0且a≠b)．
3．已知12＜a＜60,15＜b＜36，则a－b，的取值范围分别是__________，__________. 4．已知一个三边分别为15,19,23个单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x个单位长度且构成钝角三角形，试用不等式写出x满足的不等关系__________．
222
5．已知a、b、c是实数，试比较a＋b＋c与ab＋bc＋ca的大小．
ab 4
参考答案
基础梳理自测 知识梳理
1．a＞b a＝b a＜b
nn2．b＜a a＞c a＋c＞b＋d ac＞bc ac＜bc a＋c＞b＋d ac＞bd＞0 a＞b
a＞nb
3．(1)①＜ ②＜ ③＞ ④＜ ＜ (2)①＜ ＞ ②＞ ＜ 4．(1)－a＜x＜a (2)x＜－a或x＞a 基础自测
1．C 解析：解法一：(特殊值法)
令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A，B，C，D中，可知A，B，D均错．故选C. 解法二：(直接法) ∵a＞b，c2
＋1＞0，∴a＞bc2
＋1c2＋1
.故选C. 2．D 解析：①a＞bac＞bc，②c＞dbc＞bd，③ac＞bdad＞bc. 3．B 解析：lg a＋lg b＝lg ab＝0，ab＝1，1a＋1
1
b≥2
ab＝2.
当且仅当a＝b时“＝”成立．
4．②④ 解析：若x＞y，a＞b，则－x＜－y，∴a－y＞b－x. 若x＞y，a＞b，则－b＞－a， ∴x－b＞y－a，
若x＞y，a＞b，则推不出ax＞by. 若x＞y，a＞b，推不出a＞byx.
综上，①③⑤错误，②④正确． 考点探究突破
【例1】 解：设租用大卡车x辆，农用车y辆，
?8x＋2.5y≥100，
?24x＋9y≤325，则?0≤x≤10，
??0≤y≤20，x，y∈N.
【例2－1】 解：当q＝1时，S3
＝3，S5a＝5，
3a5
所以S3＜S5a. 3a5
当q＞0且q≠1时，
S3S5a1(1－q3)a1(1－q5a－a＝2－q)－)a4 35a1q(11q(1－q)＝q2(1－q3)－(1－q5)q4(1－q) ＝－q－1q4
＜0， 所以有S3＜S5
a. 3a5
5
n
【志鸿优化设计】(山东专用)高考数学一轮复习 第七章不等式7.1不等关系与不等式教学案 理 新人教A版
