1?a???8a?22b?c?0.?2????8a?22b?c?0.解得?b?0 ?c?4?c?4????1?y??x2?4；
2?2?如图C:y??12x?4． 2
关于F?m,0?对称的抛物线为
C?:y?12?x?2m??4 212?0?2m??4 2当C?过点D?0,4?时有4?解得:m?2
2122?2m?4 当C?过点B(22,0)时有0?2??解得:m?22
?2?m?22；
?3?四边形PMP'N可以为正方形 由题意设P?n,n?，
P是抛物线C第一象限上的点
1??n2?4?n
2解得:n1?2,n2??2(舍去)即P?2,2? 如图作HK?OF，PH?HK于H，
MK?HK于K
四边形PMP?N为正方形 易证
PHK≌FKM
?FK?HP?m?2
MK?HF?2
?M为?m?2,2?m?
?将M代入C: y??x2?4得
122?m??12?m?2??4 2解得:m1?6,m2?0(舍去)
?当m?6时四边形PMP?N?为正方形.
【点睛】
本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，难度大.
7．在平面直角坐标系中，点?p,tq?与?q,tp??t?0?称为一对泛对称点． （1）若点?1,2?，
?3,a?是一对泛对称点，求a的值；
（2）若P，Q是第一象限的一对泛对称点，过点P作PA?x轴于点A，过点Q作QB?y轴于点B，线段PA，QB交于点C，连接AB，PQ，判断直线AB与PQ的位
置关系，并说明理由；
2（3）抛物线y?ax?bx?c?a＜0?交y轴于点D，过点D作x轴的平行线交此抛物线
于点M（不与点D重合），过点M的直线y?ax?m与此抛物线交于另一点N．对于任意满足条件的实数b，是否都存在M，N是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点M?xM,yM?，N?xN,yN?探究当yM＞yN时xM的取值范围；若不是，请说明理由． 【答案】（1）
2；（2）AB∥PQ，见解析；（3）对于任意满足条件的实数b，都存在3M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M(xM，yM)，N(xN，yN)，当yM＞
yN时，xM的取值范围是xM＜1且xM≠0 【解析】 【分析】
（1）利用泛对称点得定义求出t的值，即可求出a.
（2）设P，Q两点的坐标分别为P（p,tq），Q（q,tp），根据题干条件得到A（p,0），B（0,tp），C（p,tp）的坐标，利用二元一次方程组证出k1=k2，所以AB∥PQ.
（3）由二次函数与x轴交点的特征，得到D点的坐标；然后利用二次函数与一元二次方程的关系，使用求根公式即可得到答案. 【详解】
（1）解：因为点（1，2），（3，a）是一对泛对称点， 设3t＝2 解得t＝
2 32 3所以a＝t×1＝
（2）解：设P，Q两点的坐标分别为P（p,tq），Q（q,tp），其中0＜p＜q，t＞0. 因为PA⊥x轴于点A，QB⊥y轴于点B，线段PA，QB交于点C，
所以点A，B，C的坐标分别为：A（p,0），B（0,tp），C（p,tp） 设直线AB，PQ的解析式分别为：y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2，其中k1k2≠0. 分别将点A（p,0），B（0,tp）代入y＝k1x＋b1，得
?pk1?b1?tp?k1??t. 解得? ?b?tpb?tp?1?1 分别将点P（p,tq），Q（q,tp）代入y＝k2x＋b2，得
?pk2?b2?tp?k2??t. 解得 ??b?tp?tpqk?b?tp?2?22所以k1＝k2. 所以AB∥PQ
（3）解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）交y轴于点D， 所以点D的坐标为（0,c）. 因为DM∥x轴，
所以点M的坐标为（xM,c），又因为点M在抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）上. 可得axM 2＋bxM＋c＝c，即xM（axM＋b）＝0.
解得xM＝0或xM＝－
b. a因为点M不与点D重合，即xM≠0，也即b≠0， 所以点M的坐标为（－
b,c） a因为直线y＝ax＋m经过点M，
bb,c）代入直线y＝ax＋m可得，a·（－）＋m＝c. aa化简得m＝b＋c
所以直线解析式为：y＝ax＋b＋c.
将点M（－
因为抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝ax＋b＋c交于另一点N， 由ax2＋bx＋c＝ax＋b＋c，可得ax2＋（b－a）x－b＝0. 因为△＝（b－a）2＋4ab＝（a＋b）2， 解得x1＝－即xM＝－
b，x2＝1. abb，xN＝1，且－≠1，也即a＋b≠0. aa所以点N的坐标为（1,a＋b＋c）
要使M（－
b,c）与N（1,a＋b＋c）是一对泛对称点， ab）. a则需c＝t ×1且a＋b＋c＝t ×（－也即a＋b＋c＝（－
bc ）·aa＝－（a＋b）·c. 也即（a＋b）·因为a＋b≠0，
所以当a＝－c时，M，N是一对泛对称点.
因此对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形. 此时点M的坐标为（－
b,－a），点N的坐标为（1,b）. a 所以M，N两点都在函数y＝ 因为a＜0，
b（b≠0）的图象上. x 所以当b＞0时，点M，N都在第一象限，此时 y随x的增大而减小，所以当yM＞yN时，0＜xM＜1；
当b＜0时，点M在第二象限，点N在第四象限，满足yM＞yN，此时xM＜0.
综上，对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M（xM,yM），N（xN,yN），当yM＞yN时，xM的取值范围是xM＜1且xM≠0. 【点睛】
本题主要考察了新定义问题，读懂题意是是做题的关键；主要考察了二元一次方程组，二次函数、一元二次方程知识点的综合，把握题干信息，熟练运用知识点是解题的核心.
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）． （1）若b＝1，a＝﹣
1c，求证：二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点； 2（2）若a?0，c＝0，且对于任意的实数x，都有y?1，求4a+b2的取值范围； （3）若函数图象上两点（0，y1）和（1，y2）满足y1?y2＞0，且2a+3b+6c＝0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）4a?b2?0 ；（3）【解析】 【分析】
（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论； （2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；
（3）将（0，y1）和（1，y2）分别代入函数解析式，由y1?y2＞0，及2a+3b+6c＝0，得不等式组，变形即可得出答案． 【详解】
解：（1）证明：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∴令y＝0得：ax2+bx+c＝0 ∵b＝1，a＝﹣
1b2??? 32a31c， 21c）c＝1+2c2， 2∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4（﹣∵2c2≥0，
∴1+2c2＞0，即△＞0，
∴二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点； （2）∵a＜0，c＝0，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+bx，其图象开口向下， 又∵对于任意的实数x，都有y≤1，
?b2∴顶点纵坐标?1，
4a∴﹣b2≥4a， ∴4a+b2≤0；
（3）由2a+3b+6c＝0，可得6c＝﹣（2a+3b）， ∵函数图象上两点（0，y1）和（1，y2）满足y1?y2＞0， ∴c（a+b+c）＞0， ∴6c（6a+6b+6c）＞0，
∴将6c＝﹣（2a+3b）代入上式得，﹣（2a+3b）（4a+3b）＞0， ∴（2a+3b）（4a+3b）＜0，
九年级数学 二次函数单元测试题(Word版 含解析)
