九年级数学 二次函数单元测试题（Word版 含解析）
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
1．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． （1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式； （2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当
S136? 时，求点P的坐标； S225（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+
2 E'B的最小值． 3
【答案】（1）抛物线y＝﹣
3293 x+ x+3，直线AB解析式为y＝﹣x+3；（2）P（2，4443410）；（3） 23【解析】 【分析】
（1）由题意令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；
（2）根据题意由△PNM∽△ANE，推出
PN6?，以此列出方程求解即可解决问题； AN54，构造相似三角形，可以证明AM′就是3（3）根据题意在y轴上 取一点M使得OM′＝
2E′B的最小值． 3【详解】
E′A+
解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），
3??n＝3?m＝?则有?，解得?4，
?m?3m?n＝0??n＝3∴抛物线y??329x?x?3， 44329x?x?3＝0， 44解得：x＝4或﹣1，
∴A（4，0），B（0，3），
令y＝0，得到?设直线AB解析式为y＝kx+b，则??b＝3，
?4k?b＝03??k＝?4， 解得???b＝3∴直线AB解析式为y＝?3x+3． 4（2）如图1中，设P（m，?329m?m?3），则E（m，0）， 44
∵PM⊥AB，PE⊥OA， ∴∠PMN＝∠AEN， ∵∠PNM＝∠ANE， ∴△PNM∽△ANE，
S136∵△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，＝，
S225∴
PN6?， AN5ANAE?， ABOA∵NE∥OB， ∴
∴AN＝
5555（4﹣m），
4444
∵抛物线解析式为y＝?∴PN＝?329x?x?3， 4432933m?m?3﹣（?m+3）＝?m2+3m， 44443?m2?3m6?， ∴455(4?m)4解得m＝2或4（舍弃）， ∴m＝2， ∴P（2，
3）． 24，连接AM′，在AM′上取一点E′使得3（3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′＝OE′＝OE．
∵OE′＝2，OM′?OB＝∴OE′2＝OM′?OB， ∴
OE?OB?， OM?OE?4×3＝4， 3∵∠BOE′＝∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB，
M?E?OE?2?＝， BE?OB32∴M′E′＝BE′，
322∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线
33时），
∴
最小值＝AM′＝42?()2＝【点睛】
43410． 3
本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是AE′+轴题．
2BE′的最小值，属于中考压3
2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3） （1）求该二次函数所对应的函数解析式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；
（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为
92；（3）M点坐标为可以为（2，43），（
5?55?5，3），（，3）．
22【解析】 【分析】
（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．
（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE＝2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．
（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解． 【详解】
解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），
∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0）， ∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）． 又∵点D（4，3）在二次函数上， ∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，
∴解得：a＝1．
∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3． （2）如图1所示．
因点P在二次函数图象上，设P（p，p2﹣4p+3）． ∵y＝x2﹣4x+3与y轴相交于点C， ∴点C的坐标为（0，3）． 又∵点B的坐标为B（3，0）， ∴OB＝OC
∴△COB为等腰直角三角形． 又∵PF//y轴，PE//x轴， ∴△PEF为等腰直角三角形． ∴EF＝2PF．
设一次函数的lBC的表达式为y＝kx+b， 又∵B（3，0）和C（0，3）在直线BC上，
?3k?b?0， ?b?3??k??1解得：?，
b?3?∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3． ∴yF＝﹣p+3．
FP＝﹣p+3﹣（p2﹣4p+3）＝﹣p2+3p． ∴EF＝﹣2p2+32p． ∴线段EF的最大值为，EFmax＝（3）①如图2所示：
0?9?292＝． ?424
九年级数学 二次函数单元测试题(Word版 含解析)
