2021年高考数学（理）立体几何突破性讲练
08利用空间向量证明平行、垂直
一、考点传真：
能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系 二、知识点梳理：
证明平行、垂直问题的思路
(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．
3其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可. 三、例题：
19）例1.（2020年浙江卷，如图，在三棱台ABC?DEF中，平面ACFD?平面ABC，?ACB??ACD?45?， DC?2BC。
（1）证明：EF?DB；
（2）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.
【解析】（1）如图，过点D作DO?AC，交直线AC于点O，连结OB. 由?ACD?45?，DO?AC得CD?2CO，
由平面ACFD⊥平面ABC得DO⊥平面ABC，所以DO?BC. 12由?ACB?45?，BC?CD?CO得BO?BC.
22所以BC⊥平面BDO，故 BC?DB.
由三棱台ABC?DEF得BC//EF.所以EF?DB.
（2）方法一
过点O作OH?BD，交直线BD于点H，连结CH.
由三棱台ABC?DEF得DF//CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角. 由BC⊥平面BDO得OH?BC，故OH?平面BCD，所以?OCH为直线CO与平面DBC所成角. 设CD?22.
由DO?OC?2,BO?BC?2，得BD?6,OH?sin?OCH?OH3， ?OC33. 323，所以 3因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为方法二：
由三棱台ABC?DEF得DF//CO.所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为
?.
如图，以O为原点，分别以射线OC,OD为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O?xyz. 设CD?22.
由题意知各点坐标如下：
O?0,0,0?,B?11,,0?,C?0,2,0?,D?0,0,2?.
2，0?,BC???11，，0?,CD??0，?2，2?. 因此OC??0，设平面BCD的法向量n??x,y,z?.
??n?BC?0,??x?y?0,由?即?可取n? （，111，）?2y?2z?0,n?CD?0,???所以sin??cos?OC,n??|OC?n|3?
|OC|?|n|3因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为3. 3
18）例2.（2020年全国1卷理数，如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE?AD.6ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO?DO.
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(1)证明：PA?平面PBC； (2)求二面角B?PC?E的余弦值. 【解析】(1)设DO?a，由题设可得PO?PA?PB?PC?2a. 263a,AO?a,AB?a， 63因此PA2?PB2?AB2，从而PA?PB. 又PA2?PC2?AC2，故PA?PC. 所以PA?平面PBC.
(2)以O为坐标原点，OE的方向为y轴正方向，OE为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.
专题08利用空间向量证明平行、垂直(解析版)-2021年高考数学(理)立体几何突破性讲练
