SARS传播的数学模型
摘要：我们以传统的微分方程为理论基础，从经典的传染病模型SIR模型入手，参考用2003
年6月以前的有关SARS的统计数据，对SARS病情的特殊性进行了分析，建立了描述SARS疫情传播的微分方程模型。还用曲线拟合的方式，给出了模型中参数的确定方法，以及模型的数值解法。
关键词：SARS，传染病模型，微分方程，曲线拟合
SARS的简介：
SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
与以往的传染病不同，SARS具有其自身的特征：除了考虑易感染者、已感染者和移出者外，还要考虑疑似者、疑似者中的确诊者、不可控者、不可控者中转化为病人（感染）者。我们从经典的传染病模型SIR模型出发，考虑了传染病蔓延过程中政府部门的决策和措施对抑制疾病蔓延的积极作用
基本假设：
1. 除感病特征外，人群的个体间没有差异、感病者与易感者的个体在人群中混合是均匀的
人群的数量足够大，只考虑传染过程的平均效应。 2. 易感者感病的机会与他接触感病者的机会成正比。 3. 疾病的传染率为常数。
4. 不考虑出生与死亡的过程和人群的迁出和迁入 5 .已感染者以固定的比率痊愈或死亡。
6 .对于一个SARS康复者我们可以假设他二度感染SARS的概率为0，这些人既不是健康者(易感染者)，也不是病人(已感染者)。
符号说明：
S(t) 为易感染者在总人口中所占的比例 I(t) 为已感染者在总人口中所占的比例 R(t) 为移出者在总人口中所占的比例 N(t) 为疑似者在总人口中所占的比例
M(t) 为不可控者在总人口中所占的比例 k为每个易感染者平均每天感染的有效人数
h为移出率（即SARS患者的日死亡率和日治愈率之和）
? 为不可控者中转化为病人的日转化率
? 为被不可控者有效感染的人中可以控制的比率 y1为疑似者中每日被诊断为未被感染者占疑似者的比例 y2为疑似者中每日被诊断为被感染者占疑似者的比例
对问题一的回答：
某种函数的形式，引入一些参量因子进行考虑。
对问题二的回答： 模型的建立
模型I（SIR）
如果假设S(t) 为易感染者在总人口中所占的比例，I(t) 为已感染者在总人口中所占的比例，R(t) 为移出者在总人口中所占的比例，k为每个易感染者平均每天感染的有效人数，h为移出率，则通过机理分析，这种情况可以用经典的传染病模型SIR模型来描述，其表达式为如下的微分方程组：
dS??kIS，S(0) = S0 dtdI?kIS?hI，I(0) = I0 dtdR?hI，R(0) = R0 dt其中S(t) + I(t) + R(t) = 1。
dI?h??1,I?S0??I0,??k dSS解为：
（相对移出率）
讨论：当t??时，
I?S???S0?I0??S??lnSS0
无论初始条件S0、I0如何，感病者终将在系统中消失，即有I??0。 事实上，dS/dt?0，而S?t??0.故S?存在。由dR/dt?hI?0且R(t)?1故
R?存在。
若I????0，则I???/2。对于充分大的t有I?t???/2。从而对充分大的t有
dR/dt?h?/2。这将导致R???。与R?存在矛盾。可得I?0。
?
设法提高模型中?（改善卫生条件、减少传染期的接触数）的值，在模型Ⅱ中，参数?是重要的，通常称之为相对移出率。我们可以用S的极值来表示?，因此?可以由观测数据给出估计。
???S??1?/?lnS??lnS0? 当传染病流行结束后得到S0和S?，由上式就可给出?的估计。
模型Ⅱ（针对SARS特征建立的模型）
SARS的传播机理又与一般的传染病不尽相同。不仅有易感染者、已感染者和移出者，还有疑似者和不可控者（自由带菌者），同时疑似者和不可控者中都可能有一部分转化为易感染者，也有一部分转化为易感染者。所以，传统的传染病模型无法描述SARS的传播机理，必须对其进行修改。
假设S(t) 为易感染者在总人口中所占的比例，I(t) 为已感染者在总人口中所占的比例，R(t) 为移出者在总人口中所占的比例，N(t) 为疑似者在总人口中所占的比例，M(t) 为不可控者在总人口中所占的比例。又设k为每个不可控者发病后被收治前平均每天感染的有效人数，? 为不可控者中转化为病人的日转化率，h为移出率（即SARS患者的日死亡率和日治愈率之和），? 为被不可控者有效感染的人中可以控制的比率，y1为疑似者中每日被诊断为未被感染者占疑似者的比例，y2为疑似者中每日被诊断为被感染者占疑似者的比例。于是，从经典的传染病模型SIR模型出发，通过机理分析动态地修正，得到描述SARS传播的微分方程模型如下：
dS?y1N?kIS，S(0) = S0 dtdI??M?hI?y2N，I(0) = I0 dtdR?hI，R(0) = R0 dtdN??y1N?y2N?kMS?，N(0) = N0 dtdM?kMS(1??)??M，M(0) = M0 dt参数的确定
上述的SARS传播模型中，共有6个参数。根据政府发布的统计数据信息，每天的y1、y2和h可以使用如下的公式进行估计：
一．y1=每天新增的疑似排除人数
当天疑似病例累计人数初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图所示：
图1
y1的值主要分布2%—4.5%之间，其中概率最大的取值为：3.51%，故我们在模型建立过程中，就取3.51%为y1的概率平均值。
二．y2=每天新增的疑似转化为确诊的人数
当天疑似累计人数初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图2所示：
疑似转化为病例日转化率0.40.20171319253137434955-0.2-0.461
三．h =每天新增的治愈和死亡的人数
当天病人累计人数初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图3所示：
2003SARS传播的数学模型
