高考数学一轮复习：
课时作业26 平面向量基本定理及坐标表示
[基础达标]
一、选择题
1．[2024·湖南重点中学联考]已知m＝(5,12)，则与m方向相同的单位向量的坐标是( )
51234A.(，) B. (，) 131355C. (3131
，) D．(－，) 2222
2
解析：设所求向量为n＝λm(λ>0)，∵m＝(5,12)，∴n＝(5λ，12λ)．∵|n|＝1，∴25λ15122
＋144λ＝1，得λ＝，∴n＝(，).故选A项．
131313
答案：A
→
2．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为( ) A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14)
→
解析：设点B的坐标为(x，y)，则AB＝(x＋1，y－5)． →??x＋1＝6，由AB＝3a，得?
?y－5＝9，?答案：D
??x＝5，
解得?
?y＝14.?
3．[2024·衡水中学调研卷]设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，则“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的是( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若a＝(4,2)，则|a|＝25，且a∥b都成立；
因a∥b，设a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝25，得4λ＋λ＝20. ∴λ＝4，∴λ＝±2. ∴a＝(4,2)或a＝(－4，－2)．
因此“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件．
1
2
2
2
答案：C
→
4．[2024·四川绵阳联考]如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC.若AC＝→→
mAB＋nAD(m，n∈R)，则m－n＝( )
A．2 B．1 C．－2 D．3
→→→→→→→1→3→13
解析：∵BD＝2DC，∴AD－AB＝2(AC－AD)，∴AC＝－AB＋AD，∴m＝－，n＝，∴m2222－n＝－2.故选C项．
答案：C
→→
5．[2024·福建三明期末]在△ABC中，3CD＝BD，AD为BC边上的高，O为AD的中点，→→→
若AO＝λAB＋μAC，则λ·μ＝( )
33A．－ B．－
41633C. D. 416
→→→1→1→1→1→13→1→解析：如图，∵3CD＝BD，O为AD的中点，∴AO＝AD＝AB＋BD＝AB＋×BC＝AB＋
2222222→→3→→1→3→133
(AC－AB)＝－AB＋AC＝λAB＋μAC，∴λ＝－，μ＝，∴λ·μ＝－.故选B项． 4444416
答案：B 二、填空题
6．[2024·广州市高中综合测试]已知向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，则实数m＝________.
解析：解法一 a＋b＝(m＋1,3)，|a＋b|＝
m＋1
2
＋9，|a|＝m＋4，|b|＝2，
2
2
由|a＋b|＝|a|＋|b|，得
2
m＋1
2
＋9＝m＋4＋2，两边分别平方得m＋2m＋10＝m2
2
2
222
＋6＋22×m＋4，即m＋2＝2×m＋4，两边分别平方得m＋4m＋4＝2m＋8，解得m＝2.
解法二 a·b＝(m,2)·(1,1)＝m＋2，|a|＝m＋4，|b|＝1＋1＝2，由|a＋b|＝|a|＋|b|，得a＋b＋2a·b＝a＋b＋2|a||b|，即a·b＝|a||b|，故m＋2＝2×m＋4，两边分别平方得m＋4m＋4＝2m＋8，解得m＝2.
答案：2
7．[2024·天津二十四中月考]已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为________．
解析：∵p∥q，∴x＝－4，∴q＝(－4,6)，∴p＋q＝(－2,3)，∴|p＋q|＝13. 答案：13
→→→
8．[2024·石家庄检测]平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若AB＝λAM＋μDB，则
2
2
2
2
2
2
2
2
λμ＝________.
→→→→→→→→→→→→→
解析：∵DB＝AB－AD＝AB－BC＝AB－2BM＝3AB－2AM，∴AB＝λAM＋3μAB－2μAM，∴(1→→→→
－3μ)AB＝(λ－2μ)AM，∵AB和AM是不共线向量，
??1－3μ＝0，∴?
?λ－2μ＝0，?
1
μ＝，??3解得?2
λ＝??3，
2
∴λμ＝.
9
2答案：
9三、解答题
1
9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设
3→
→→→→
BA＝a，BC＝b，试用a，b为基底表示向量EF，DF，CD.
→→→→111
解析：EF＝EA＋AB＋BF＝－b－a＋b＝b－a，
623
3
→
→→111
DF＝DE＋EF＝－b＋(b－a)＝b－a，
636→→112
CD＝CF＋FD＝－b－(b－a)＝a－b.
26310．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)， (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
→→
(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值． 解析：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
→
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0， 1
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
2(2)解法一 ∵A、B、C三点共线， →→∴可设AB＝λBC. 即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
??2＝λ，∴???3＝mλ，
3
解得m＝.
2
→
解法二 AB＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， →
BC＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，
∵A、B、C三点共线， →→∴AB∥BC，
∴8m－3(2m＋1)＝0， 即2m－3＝0， 3∴m＝. 2
[能力挑战]
11．[2024·甘肃酒泉五校联考]已知a＝(3，－2m)，b＝(1，m－2)是同一平面内的两个向量，且该平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是( )
4
666
A.(，＋∞) B．(－∞，)∪(，＋∞) 555C．(－∞，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：由平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，可知
a，b是一组基底向量，所以a，b不共线，则3(m－2)≠－2m，解得m≠，所以实数m的取
66
值范围是(－∞，)∪(，＋∞).故选B项．
55
答案：B
12．[2024·甘肃兰州一中月考]已知a，b为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
6
5
c满足c＋a＝λ(c＋b)(λ∈R)，则|c|的最小值为________．
解析：∵c＋a＝λ(c＋b)且λ≠1，∴c＝
－1λ－1λ(－a)＋(－b)．∵＋＝λ－1λ－1λ－1λ－1
→→→
1，∴c，－a，－b三个向量共起点且其终点共线．如图，令OA＝－a，OB＝－b，OC＝c，易知A，B，C三点共线，∴|c|的最小值为点O到直线AB的距离．∵a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，∴O到直
线AB的距离为
22，即|c|的最小值为. 22
答案：
2 2
→→
13．[2024·河北百校联盟联考]已知在△ABC中，点D满足2BD＋CD＝0，过点D的直线→→→→
l与直线AB，AC分别交于点M，N，AM＝λAB，AN＝μAC.若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为________．
→→→1→→→→→1→→1→→
解析：连接AD.因为2BD＋CD＝0，所以BD＝BC，AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)
333→→→→→2→1→
＝AB＋AC.因为D、M、N三点共线，所以存在x∈R，使AD＝xAM＋(1－x)AN，则AD＝xλAB33→→→2→1→2＋(1－x)μAC，所以xλAB＋(1－x)·μAC＝AB＋AC，根据平面向量基本定理，得xλ＝，
333
5
121211?21?(1－x)μ＝，所以x＝，1－x＝，所以＋＝1，所以λ＋μ＝(λ＋μ)?＋?33λ3μ3λ3μ3?λμ?1?2μλ?3＋223＋22
＝?3＋＋?≥，当且仅当λ＝2μ时等号成立，∴λ＋μ的最小值为.
λμ?3?33
3＋22答案： 3
6
2024高考数学一轮复习课时作业26平面向量基本定理及坐标表示理（含答案及解析）
