2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.已知集合M?{x?4?x?2},N?{xx?x?6?0?,则MIN=
2A.{x?4?x?3? B.{x?4?x??2? C.{x?2?x?2? D.{x2?x?3?
2.设复数z满足z?i=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则 A.(x+1)?y?1
22B.(x?1)?y?1 C.x?(y?1)?1 D.x?(y+1)?1
222222a?log20.2,b?20.2,c?0.20.3,则 3.已知 A.a?b?c
B.a?c?b
C.c?a?b
D.b?c?a
4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5?15?1(≈0.618,22称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5?1.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的2长度为26 cm,则其身高可能是
A.165 cm 5.函数f(x)=
B.175 cm C.185 cm D.190 cm
sinx?x在[??,?]的图像大致为
cosx?x2A. B.
C. D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是
111121 C. D.
1632327.已知非零向量a,b满足|a|?2|b|,且(a?b)?b,则a与b的夹角为
ππ2π5πA. B. C. D.
633618.如图是求的程序框图,图中空白框中应填入
12?12?2A.
B.
5 16
1
1?2A9.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4?0,a5?5,则
A.A=
B.A=2?C.A=
A.an?2n?5
1 2?A1 A
D.A=1?1 2A12n?2n 2an?3n?10 B. 2C.Sn?2n?8n
D.Sn?10.已知椭圆C的焦点为F1(?1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|?2|F2B|,
|AB|?|BF1|,则C的方程为
x2?y2?1 A.2x2y2??1 B.32x2y2??1 C.43x2y2??1 D.5411.关于函数f(x)?sin|x|?|sin x|有下述四个结论: ①f(x)是偶函数
②f(x)在区间(
?2,?)单调递增
③f(x)在[??,?]有4个零点 其中所有正确结论的编号是 A.①②④
B.②④
④f(x)的最大值为2
C.①④ D.①③
12.已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别
是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为 A.86?
B.46?
C.26?
D.6?
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
0)处的切线方程为____________. 13.曲线y?3(x?x)e在点(0,214.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1?,a4?a6,则S5=____________.
2x1315.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前
期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是____________.
x2y216.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线
abuuuruuuruuuruuuur分别交于A,B两点.若F1A?AB,F1B?F2B?0,则C的离心率为____________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17.(12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB?sinC)2?sin2A?sinBsinC.
(1)求A;
(2)若2a?b?2c,求sinC. 18.(12分)
如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN∥平面C1DE; (2)求二面角A?MA1?N的正弦值. 19.(12分)
已知抛物线C:y=3x的焦点为F,斜率为(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
2
3的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P. 2uuuruuur(2)若AP?3PB,求|AB|.
20.(12分)
已知函数f(x)?sinx?ln(1?x),f?(x)为f(x)的导数.证明: (1)f?(x)在区间(?1,)存在唯一极大值点; (2)f(x)有且仅有2个零点. 21.(12分)
为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得?1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得?1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X. (1)求X的分布列;
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i?0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0?0,p8?1,pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,L,7),其中a?P(X??1),
?2b?P(X?0),c?P(X?1).假设??0.5,??0.8.
(i)证明:{pi?1?pi}(i?0,1,2,L,7)为等比数列; (ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
?1?t2x?,?2?1?t在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为?(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半?y?4t?1?t2?轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2?cos??3?sin??11?0. (1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值. 23.[选修4—5:不等式选讲](10分) 已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (1)
111???a2?b2?c2; abc333(2)(a?b)?(b?c)?(c?a)?24.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学?参考答案
一、选择题
1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D 二、填空题 13.y=3x 三、解答题
17.解:(1)由已知得sinB?sinC?sinA?sinBsinC,故由正弦定理得b?c?a?bc.
22222214.
121 315.0.18 16.2
b2?c2?a21?. 由余弦定理得cosA?2bc2因为0?A?180,所以A?60.
(2)由(1)知B?120?C,由题设及正弦定理得2sinA?sin120?C?2sinC,
???????
2019全国I卷理科数学高考真题2020新
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)