2012年全国高中数学联赛试题及详细解析

１０．（本小题满分２０分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有

（１）当时，求所有满足条件的三项组成的数列; （２）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，

求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．

１１．（本小题满分２０分）

如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且． （１）求证：为定值；

（２）当点A在半圆（）上运动时，求

点的轨迹．

【解析】因为所以三点共线

如图,连结,则垂直平分线段,设垂足为,于是有 (定值)

(2)设其中则. 因为所以

由(1)的结论得所以从而

故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为

2012年全国高中数学联赛加试试题（卷）

一、（本题满分４０分）

如图，在锐角中，是边上不同的两点，使得设和的外心分别为，求证：三点共线。

21世纪教育网证法一:令消去得

由于这方程必有整数解;其中为方程的特解.

把最小的正整数解记为则,故使是的倍数．……40分 证法二:由于由中国剩余定理知,同余方程组

在区间上有解即存在使是的倍数．…………40分 证法三:由于总存在使取使则 存在使

此时因而是的倍数．……………40分

三、（本题满分５０分）

设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为 求证：

四、（本题满分５０分）

设，ｎ是正整数．证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于．这里，表示不超过实数ｘ的最大整数．

【解析】证法一:(1)对任意,有

证法二:(1)