2012年全国高中数学联赛
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上． 1.设P是函数y?x?2x（x?0）的图像上任意一点，过点P分别向
????????直线y?x和y轴作垂线，垂足分别为A,B，则PA?PB的值是_____________.
6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x．若对任意的x?[a,a?2]，不等式f(x?a)?2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是_____________. 7．满足
?14n38．某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从
上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）
二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）已知函数f(x)?asinx??sin??1的所有正整数n的和是_____________.
12cos2x?a?3a?12,a?R,a?0
（1）若对任意x?R，都有f(x)?0，求a的取值范围； （2）若a?2，且存在x?R，使得f(x)?0，求a的取值范围．
10．（本小题满分２０分）已知数列?an?的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有
33(a1?a2???an)2?a13?a2???an
（1）当n?3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1,a2,a3;
（2）是否存在满足条件的无穷数列{an}，使得a2013??2012?若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
11．（本小题满分20分）
如图5，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且OB?OD?6． （1）求证：|OA|?|OC|为定值；
（2）当点A在半圆(x?2)?y?4（2?x?4）上运动时，求 点C的轨迹．
22
三、（本题满分50分） 设P0,P1,P2,?,Pn是平面上n?1个点，它们两两间的距离的最小值为d(d?0) 求证：P0P1?P0P2??P0Pn?()dn3(n?1)!
四、（本题满分50分） 设Sn?1?，n是正整数．证明：对满足0?a?b?1的任意实数a,b，数列
2n{Sn?[Sn]}中有无穷多项属于(a,b)．这里，[x]表示不超过实数x的最大整数．
1???1
[来源:21世纪教育网]
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题
参考答案及详细评分标准(A卷word版)
一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上． １． 设P是函数y?x?2x（x?0）的图像上任意一点，过点P分别向直线y?x和y轴作垂线，垂
足分别为，则的值是 ．
２． 设的内角的对边分别为，且满足， 则的值是 . 【答案】4
３．设，则的最大值是 . 【答案】
【解析】不妨设则 因为 所以
当且仅当时上式等号同时成立.故
4.抛物线的焦点为，准线为ｌ，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段ＡＢ的中点在ｌ上的投影为，则的最大值是 . 【答案】1
【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 在中,由余弦定理得
当且仅当时等号成立.故的最大值为1.
5．设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是 ．
[来源:21世纪教育网][21世纪教育网]21世纪教育网
6. 设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】
７．满足的所有正整数的和是 ． 【答案】33
【解析】由正弦函数的凸性,有当时,由此得 所以
故满足的正整数的所有值分别为它们的和为.
８．某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）
二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． ９．（本小题满分１６分）已知函数
（１）若对任意，都有，求的取值范围； （２）若，且存在，使得，求的取值范围．
2012年全国高中数学联赛试题及详细解析
