28.2__解直角三角形及其应用__28．2.1解直角三角形[学生用书B82]
1．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(AA．c·sinA＝aC．a·tanA＝b
)
B．b·cosB＝cD．c·tanB＝b
32．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB＝(D)
5A．4
B．6
C．8
D．10
635
BC3BC【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝，BC＝6，∴AB＝＝AB5sinA＝10.故选D.
3．一座楼梯的示意图如图28－2－1所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4m，楼梯宽度1m，则地毯的面积至少需要(D
)
图28－2－1
4m2sinθ
44＋C.tanθm2A.
4B.m2cosθ
D．(4＋4tanθ)m2234．如图28－2－2，△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是
25(AA.212
)
B．12D．21
C．14
图28－2－2
2，∴∠B＝45°，∴AD＝BD，2
3由AC＝5，sinC＝易得AD＝3，DC＝4，
5
121∴S△ABC＝AD·BC＝.22∵cosB＝
第4题答图
【解析】如答图，过A点作BC边上的高AD，
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝23，则∠B＝__30°__．tanB＝【解析】本题是已知两直角边解直角三角形，由∠C＝90°，得∠B＝30°.
6．已知Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，c＝83，∠A＝60°，则a＝__12__，b＝__43__．
a【解析】本题是已知一锐角和斜边解直角三角形，由sinA＝，得a＝sinA·c＝
c
3×83＝12.2
1由∠C＝90°，∠A＝60°，得∠B＝30°，∴b＝c＝43.27．等腰三角形底边长为26，底边上的高为32，则底角为__60°__．
【解析】底边上的高将等腰三角形分割成两个直角三角形，通过解直角三角形即可求出底角．
8．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．(1)已知∠A＝60°，b＝4，求a；12(2)已知a＝，c＝，求b；
33(3)已知c＝282，∠B＝30°，求a；1(4)已知a＝2，cosB＝，求b.
3
AC233＝＝，BC63
解：(1)∵tanA＝ab
，∴a＝b·tanA＝4·tan60°＝4×3＝43；(2)∵a2＋b2＝c2，2∴b＝c2－a2＝213－32＝13
；(3)∵cosB＝ac，∴a＝c·cosB＝282×32
＝146；(4)∵cosB＝ac，∴c＝acosB
＝21＝6.又∵b2＝c2－a2，
3
∴b＝c2－a2＝62－22＝42.9．根据下列条件，解直角三角形．
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，b＝6.解：(1)∠A＝90°－∠B＝30°，c＝
acosB
＝16，b＝a·tanB＝83；(2)∠B＝90°－∠A＝45°，a＝b·tanA＝6，c＝
bcosA
＝23.10．[2024·自贡]如图28－2－3，在△ABC中，BC＝12，tanA＝34，∠AC和AB的长．
B＝30°，求
图28－2－3第10题答图
解：如答图所示，过点C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△BCD中，∠B＝30°，BC＝12，CDCD1＝＝sin30°＝，∴CD＝6.BC122BDBD3cosB＝＝＝cos30°＝，∴BD＝63.BC122
3在Rt△ACD中，tanA＝，CD＝6，
4
CD63∴tanA＝＝＝，∴AD＝8，
ADAD4∴sinB＝
∴AC＝AD2＋CD2＝82＋62＝10，AB＝AD＋BD＝8＋63.综上所述，AC长为10，AB长为8＋63.11．[2024·无锡改编]已知△ABC中，AB＝10，AC＝27，∠B＝30°，求△ABC的面积．
解：分两种情况求解：
(1)如答图①所示，作AD⊥BC于点D，∵AB＝10，∠B＝30°，11∴AD＝AB＝×10＝5，
22BD＝AB2－AD2＝102－52＝53.又∵AC＝27，
∴CD＝AC2－AD2＝（27）2－52＝3.∴BC＝BD＋CD＝53＋3＝63，11∴S△ABC＝BC·AD＝×63×5＝153；
22
第11题答图①第11题答图②
(2)如答图②所示，作AD⊥BC的延长线于点D，∵AB＝10，∠B＝30°，11∴AD＝AB＝×10＝5，
22BD＝AB2－AD2＝102－52＝53.又∵AC＝27，
∴CD＝AC2－AD2＝（27）2－52＝3，∴BC＝BD－CD＝53－3＝43，11∴S△ABC＝BC·AD＝×43×5＝103.22综上所述，△ABC的面积等于153或103.12．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等．于是，小陆同学提出一个问题：如图28－2－4，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．
图28－2－4
请你运用所学的数学知识解决这个问题．解：∵在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝
BC＝23，则EF＝AC＝23，tanA
∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sinE＝6，
初三年级上册数学28.2解直角三角形及其应用(基础夯实+技能提升+拓展冲刺)
