证 首先证明相容性。nn?nA?R和任意的非零向量Y?R对任意矩阵 由于 所以有maxX?0AXXrrY?AYrX?0r1?AYYrrrrAYr?YrmaxAXXrAXX?ArYr此结果显然也适用于Y=0的情形。再证明Ar?maxX?0r,(r?1,2,?)满足矩阵范数的四个条件。（1）当A=0时，Ar?0；当A≠0时，必有Ar?0（2）对任一数k?R有kAr?maxX?0kAXXrr?kmaxX?0AXXrr?kAr（3）对任意的矩阵A,B?Rn?n，式A?Br?maxX?0(A?B)XXAXXrrrr?maxX?0AX?BXXrr?max(X?0AXXrr?BXXrr)?maxX?0?maxX?0BXXrr?Ar?Br成立。（4）ABr?maxX?0ABXXX?0rr?maxArX?0rrBXXrrr?Armax证毕。BXX?ArB常用的3种算子范数的定义与算式为：p10-111―范数（列模） A1?maxX?0AXX11?max1?j?n?naiji?12―范数（谱模） A2?maxX?0∞―范数（行模） A??maxX?0?i其中?max(AA)?max1?i?nTAXXAXX??22??max(AA)nT?max?aij1?i?nj?1AA的特征值。?i为 T?4?3?A??A2。A?,A1及 例6 设 ，求 ??21?解：A??max{4??3,2?1}?7TA1?{4?2,?3?1}?6又T?42??4?3??20?10?AA??????????31??21???1010?AA的特征方程为??2010?I?AA??010??10T 它的根为?1?15?5
5,?2?15?55因而A2?15?55?5.1167练习:已知矩阵A和向量X，求X1,X2,X?，A?,A1及
A2。其中x?(1,2,?3),?120???A???12?1???010??
研究生数值分析(2) - 图文
