其实，向量的1—范数， 2—范数，? ?范数，它们都是p范数的特例n1pXp?(?xi)i?1p其中，正整数 p?1，并且有limXp??p?maxxi1?i?nnR容易验证 的3种范数之间有如下关系（等价）：XXX2???X?X?X121??nXnX?2??nXT下面验证第2式设X?(x1,x2,?,xn)，则2
n
X
2?
?[max{x1,x2,?,xn}]
2
2
?max{x1,x2,?,xn}??xi?X
i?1
2222
于是有XX22ni?1??X22，又2222???xi?nmax{x1,x2,?,xn}?nX?即有X2?nX，故有X??X2?nX??X?(?1,2,?3)，求X1,X2,X例5 设 ?范数定义X的1，2， 解：由向量 XXX??1?2??3?612??(?1)?2?(?3)?14?max{?1,2,3}?3222(2) 矩阵的范数R上的实值函数，N(A)?A是定义在 定义2 设 n?n如果它满足4个条件：A?0,A?0当且仅当A?01. 非负性， 即 2. 齐次性， 即aA?aA(a?R)n?nA,B?R总有A?B?A?B3. 三角不等式，即对 ,A,B?R4. 矩阵乘法不等式，即对 ,总有n?nAB?ABA的范数（或模）。N(A)?A为 则称 Rn?n上矩阵 在实际应用问题中，矩阵和向量常常具有一定关系，即满足矩阵、向量乘法的相容性，且有结论AX?AXX?R, 矩阵 A?R，给定一种向量 定理 设向量 nn?n范数Xr(r?1,2,?)，若Ar?maxX?0AXXrr,(r?1,2,?)则称为矩阵 A的范数，称为算子范数，并且它与所 给定的向量范数相容。
研究生数值分析(2) - 图文
