研究生数值分析(2) - 图文

§3 向量范数与矩阵范数 为了学习线性方程组的迭代解法并研究其收敛性，对方程组的近似解作出误差分析，下面简要介绍向量范数与矩阵范数（模）。向量范数和矩阵范数是用于描述向量和矩阵大小的量。 (1) 向量的范数R中的任意向量对于空间直角坐标系 X?(x1,x2,x3)T3其长度为X?(x?x2?x3)T21221/2X?(x1,x2,x3)的“大小”。 我们用其度量向量 X是一个实值函数，实质上向量范数 它满足如下3个条件：(1非负性). 对任意 X?R，都有X?03当且仅当 X?0时，有X?03a?RX?R(2齐次性). 对任意 和向量 ,aX?aX3X,Y?R(3三角不等式). 对任意 , 都有X?Y?X?Y将向量的长度概念加以推广，便得到向量范数概念。3N(X)?XR定义1 设 是定义在 上的实值函数，如果它满足三个条件：X?0,X?0当且仅当① 非负性，即 X?0(a?R)② 齐次性，即aX?aXnX,Y?R③ 三角不等式，即对 ,总有X?Yn?X?YR上向量 N(X)?XX的范数（或模）。则称 为 最常用的有如下3种向量范数：nX1??xiX的1—范数：向量 i?1向量 X的2—范数：X21/2?(x?i)2i?1n??范数：X的 向量 X??maxxi1?i?nX2是向量范数：下面只证 证明： （1）由向量的2—范数有X2?x?x???x?021222n满足定义中条件①（2）对任一 k?R有kX2??(kx)ii?1n2?k2?xi?1n2i?k?xi?1n2i?kX2满足定义中条件②X2的含义，可用内积表示，即由 X2?XXTy?R，则有（3）任取向量 X?Y22n?(X?Y)(X?Y)?XT2?2XY?Y2T22根据Cauchy-Schwarz（柯西-施瓦兹）不等式(XY)?(XX)(YY)T2TT有X?Y22?X2?2X22Y2?Y22?(X?Y)222满足定义中条件③。证毕向量的2—范数也称为Euclid范数。