中考数学复习切线的判定与性质
知识考点：
1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题：
【例1】如图，AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于E点，过E点作⊙O的切线，交BC于D点，DE＝DC，作EF⊥AC于F点，交AD于M点。
（1）求证：BC是⊙O的切线； （2）EM＝FM。 分析：（1）由于AC为直径，可考虑连结EC，构造直角三角形来解题，要证BC是⊙O的切线，证到∠1＋∠3＝900即可；（2）可证到EF∥BC，考虑用比例线段证线段相等。 证明：（1）连结EC，∵DE＝CD，∴∠1＝∠2 ∵DE切⊙O于E，∴∠2＝∠BAC BE ∵AC为直径，∴∠BAC＋∠3＝900
2D ∴∠1＋∠3＝900，故BC是⊙O的切线。 M1（2）∵∠1＋∠3＝900，∴BC⊥AC 3?AC 又∵EF⊥AC，∴EF∥BC OF ∴
例1图 ∵BD＝CD，∴EM＝FM
【例2】如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切
A于点D。求证：AC是⊙O的切线。
分析：由于⊙O与AC有无公共点未知，因此我们从圆心O向AC作垂线段OE，证OE就是⊙O的半径即可。 ED证明：连结OD、OA，作OE⊥AC于E
∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO是∠BAC的平分线 OBC∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB 又∵OE⊥AC，∴OE＝OD
例2图 ∴AC是⊙O的切线。
【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝r。
（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求AD?OC的值；
EMAMMF ??BDADCD（3）若AD＋OC＝
9r，求CD的长。 2分析：（1）要证CD是⊙O的切线，由于D在⊙O上，所以只须连结OD，证OD⊥DC即可；（2）求AD?OC的值，一般是利用相似把AD?OC转化为其它线段长的乘积，
若其它两条线段长的乘积能求出来，则可完成；（3）由AD?OC，AD＋OC＝AD、OC，根据勾股定理即可求出CD。 证明：（1）连结OD，证∠ODC＝900即可；
（2）连结BD
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝900 ∵∠OBC＝900，∴∠ADB＝∠OBC 又∠A＝∠3，∴△ADB∽△OBC ∴
9r可求出2CD12AO?3BADAB ?OBOC2∴AD?OC?OB?AB?2r
（3）由（2）知AD?OC?2r，又知AD＋OC＝ ∴AD、OC是关于x的方程x?22例3图 9r 29rx?2r2?0的两根 2r，x2?4r 2 ∵OC＞r，∴OC＝4r
解此方程得x1? ∴CD＝OC2?OD2?16r2?r2?15r
探索与创新：
【问题一】如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG切半圆于E，交AD于F，交BA的延长线于G，GA＝8。
（1）求∠G的余弦值； （2）求AE的长。 略解：（1）设正方形ABCD的边长为a，FA＝FE＝6，在Rt△FCD中，
FC2?FD2?CD2，(a?b)2?(a?b)2?a2，解得a?4b。
GAFEDCDa4b4∴cos?FCD????
FCa?b5b5∵AB∥CD，∴∠G＝∠FCD，∴cos?G?4 5O?BC（2）连结BE，∵CG切半圆于E，∴∠AEG＝∠GBE ∵∠G为公共角，∴△AEG∽△EBG ∴
问题一图 AEGE161??? BEGB322245 5在Rt△AEB中，可求得AE?【问题二】如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝?（定值），⊙O的圆心O在
AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q。
（1）求∠POQ；
（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与⊙O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断∠DOE的大小是否保持不变，并说明理由。
分析：（1）连结OC，利用直角三角形的性质易求∠POQ；（2）试将∠DOE用含?的式子表示出来，由于?为定值，则∠DOE为定值。 解：（1）连结OC
∵BC切⊙O于P、Q，∴∠1＝∠2，OP⊥CA，OQ⊥CB ∵CA＝CB，∴CO⊥AB
∴∠COP＝∠CAB，∠COQ＝∠CBA
∵∠CAB＝?，∴∠POQ＝∠COP＋∠COQ＝2? （2）由CD、DE、CE都与⊙O相切得：
11 ∠ODE＝∠CDE，∠OED＝∠CED
22 ∴∠DOE＝1800－（∠ODE＋∠OED）
CPAODNQB1 ＝180－（∠CDE＋∠CED）
21 ＝1800－（1800－∠ACB）
21 ＝1800－[1800－（1800－2?）]
20
E问题二图 ＝180??
∴∠DOE为定值。 跟踪训练： 一、选择题： 1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）
A、经过半径外端点的直线是圆的切线；
B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线； C、垂直于半径的直线是圆的切线；
D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、在Rt△ABC中，∠A＝900，点O在BC上，以O为圆心的⊙O分别与AB、AC相切于E、F，若AB＝a，AC＝b，则⊙O的半径为（ ） A、ab B、
0a?baba?b C、 D、 aba?b23、正方形ABCD中，AE切以BC为直径的半圆于E，交CD于F，则CF∶FD＝（ ）
A、1∶2 B、1∶3 C、1∶4 D、2∶5
4、如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连结AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使AD＝BE，BD＝AF，连结DE、DF、EF，则∠EDF＝（ ）
A、900－∠P B、900－
AD11∠P C、1800－∠P D、450－∠P 22ADFPCDEFBO?O?EBE?OCBA
第3题图
第4题图
第6题图
二、填空题：
5、已知PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，∠APB＝780，点C是⊙O上异于A、B的任一点，则∠ACB＝ 。
6、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，BC与以AD为直径的⊙O相切于点E，AB＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积为 。
7、如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，点D、E、F为切点，若AD＝6，BD＝4，则△ABC的面积为 。
8、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，过⊙O上A点的直线AD∥OC，若OA＝2且AD＋OC＝6，则CD＝ 。
CBDFC?ODCAO?BAO?BDEA
第7题图
第8题图
第9题图
9、如图，已知⊙O的直径为AB，BD＝OB，∠CAB＝300，请根据已知条件和所给图形写出4个正确的结论（除OA＝OB＝BD外）：① ；② ；③ ；④ 。
10、若圆外切等腰梯形ABCD的面积为20，AD与BC之和为10，则圆的半径为 。 三、计算或证明题：
11、如图，AB是半⊙O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半⊙O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C。
（1）当∠QPA＝600时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明； （2）当QP⊥AB时，△QCP的形状是 三角形； （3）则（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是 三角形。
12、如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD。
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）如果AB＝2，AD＝4，EG＝2，求⊙O的半径。
CC?EQFGB?DDAEO?BCAPM?O?BA第11题图
第12题图
第13题图
13、如图，在△ABC中，∠ABC＝900，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD＝2，AE＝1，求S?BCD。
14、如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM切半圆于B，OC与弦AD平行且交BM于C。
（1）求证：CD是半圆的切线； （2）若AB长为4，点D在半圆上运动，设AD长为x，点A到直线CD的距离为y，试求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
MCPTEDAAOBCO?B第14题图 第15题图
15、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O的半径AO上运动， PC⊥AB交⊙O于E，PT切⊙O于T，PC＝2.5。
（1）当CE正好是⊙O的半径时，PT＝2，求⊙O的半径；
（2）设PT2?y，AC?x，求出y与x之间的函数关系式；
（3）△PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△PTC的面积；若不能，请说明理由。
跟踪训练参考答案
一、选择题：DCBB 二、填空题：
5、51或129；6、78；7、24；8、23；
9、∠ACB＝900，AB＝2BC，DC是⊙O的切线，BD＝BC等；10、2 三、计算或证明题：
11、（1）△QCP是等边三角形；（2）等腰直角三角形；（3）等腰三角形
12、（1）证OD⊥AD；（2）23； 13、过D作DF⊥BC于F，S?BCD?18； 514、（1）证∠ODC＝900；（2）连结BD，过A作AE⊥CD于E，证△ADB∽△AED，则有
ADAByx12，即?，y?x(0?x?4) ?AEADx4415、（1）⊙O的半径为1.5；（2）连结OP、OT，由勾股定理得y?2.5?(1.5?x)?1.52222化简得y?x?3x?6.25（0≤x≤1.5）；（3）△PTC不可能变为以PC为斜边的等腰直角三角形。理由如下： 当PT⊥CT时，由于PT切⊙O于T，所以CT过圆心，即CT就是⊙O的半径，由（1）知，CT＝1.5，PT＝2，即PT≠CT，故△PTC不可能变为以PC为斜边的等腰直角三角形。
中考数学复习切线的判定与性质
