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助力中考：“一线三等角”模型中考考试
题归类赏析及启示
XX：__________
指导：__________
日期：__________
- zj.
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01、模型呈现
如图1和图2，在△ABC和△CDE中，点C是直线BD上的点．若∠ACE=∠ABD=∠EDF，则△ABC∽△CDE．特别地，当AC=CE时，△ABC≌ △CDE．
上述两个图
呈现的是两种最典型的“一线三等角”模型，即同侧型和异侧型，两者所求证的结论均可通过导角证明．该模型最本质的特点为: 有3个等角的顶点在同一条直线上，且这个角可以是锐角、直角或钝角．而随着角顶点位置的适当改变或角绕顶点旋转一定角度，常会产生许多和谐美观的图形，且结论仍然成立．正因如此，近年来各地命题专家们命制了许多可用“一线三等角”模型求解的中考试题，这些试题大都突出对学生能力与思维的考查，重视数学经验与思想方法的获得，常常具有较高的区分度． 02、试题赏析
类型1：三角齐见，模型自现
例1：如图3，将一X矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使 点B落在AD上，记为B’，折痕为CE;再将CD边斜向下对折，使点 D落在B’C上，记为D’，折痕为CG，若B’D’=2，BE=1/3BC，则矩形纸片ABCD的面积为________．
- zj.
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图3
分析：因为∠A=∠EB’C=∠D=90°，且点A，B’，D在同一直线上，由“一线三等角”模型，得△AEB’∽△DB’C，则
类型1：三角齐见，模型自现
例2：将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图4所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB 的两腰CA，CB于点M，N．若CA=5，AB=6，AD∶AB=1∶3，则MD+12/MA·DN的最小值为________．
图4
分析：由于∠A=∠MDN=∠B，且点A，D，B在同一直线上，因此根据“一线三等角”模型可得△MAD∽△DBN，则
- zj.
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评注
以上两例都是典型的“一线三等角”试题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试题的起点．两道题虽涉及不同的图形变换，但解法本质一致，均为利用模型构建比例式解决问题．两道题都着重考查学生在图形变换过程中的观察理解、直观感知、推理转化等数学能力和思想． 类型2：隐藏局部，小修小补
例3：如图5，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME 交AD延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE长为_______________________
图5
分析：如图6，由于∠B=∠AME=90°，因此延长BC，过点E作BC 延长线的垂线，两者交于点N．根据“一线三等角”模型，可得△ABM∽△MNE，则
而AB=EN=12，BM=5，则MN=144/5，故DE==MN－MC=MN－
(BC-BM)=109/5．
- zj.
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图6
类型2：隐藏局部，小修小补
例4：如图7，在平面直角坐标系xOy中，直线y=－x+m分别交x轴、y轴于点A，B，已知点C(2，0)．
1)当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是;
2)设点P为线段OB的中点，联结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是________．
图7
分析：1)√2;
2)如图8，因为∠ABO=∠APC=45°，在y轴的负半轴上找一点D，使得∠CDO=45°，则△ABP与△PDC构成“一线三等角”模型，所以△ABP∽△PDC，从而AB/PD=BP/DC,易知m＞0，AB=√2m，BP=m/2，PD=m/2+2，CD=2√2，于是
解得m=12.
- zj.
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