高中立体几何最佳解题方法总结
一、 线线平行的证明方法
1、 利用平行四边形；
2、 利用三角形或梯形的中位线；
3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行的
性质定理）
4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理） 5、 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理） 6、 平行于同一条直线的两个直线平行。 7、 夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
二、 线面平行的证明方法
1、 定义法：直线和平面没有公共点。
2、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。（线面平行的判定
定理）
3、 两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。 4、 反证法。
三、 面面平行的证明方法
1、 定义法：两个平面没有公共点。
2、 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理） 3、 平行于同一个平面的两个平面平行。
4、 经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。 5、 垂直于同一条直线的两个平面平行。
四、 线线垂直的证明方法
1、 勾股定理； 2、等腰三角形； 3、菱形对角线;
4、圆所对的圆周角是直角； 5、点在线上的射影；
6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。
7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（三垂线定理） 8、 在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 9、 如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
五、 线面垂直的证明方法：
1、 定义法：直线与平面内的任意直线都垂直； 2、 点在面内的射影；
3、 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。（线面垂直的判定定理） 4、 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。（面面垂直的性质
定理）
5、 两条平行直线中的一条垂直于平面，那么另一条必垂直于这个平面。
6、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面。 7、 两相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面。 8、 过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。 9、 过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。
六、 面面垂直的证明方法：
1、 定义法：两个平面的二面角是直二面角；
2、 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；（面面垂直的判定定理） 3、 如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。
4、 如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。
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高中立体几何经典考题及方法汇总
1线面平行的判定
1、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点， 求证： A1C//平面BDE。
证明：连接AC交BD于O，连接EO， ∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内，A1C在平面BDE外
B ∴A1C//平面BDE。
2线面垂直的判定
2、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,求证：AD?面SBC． 证明：∵?ACB?90° ?BC?AC
又SA?面ABC ?SA?BC ?BC?面SAC ?BC?AD
又SC?AD,SC?BC?C?AD?面SBC
3线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 3、已知正方体ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.
oA
D1
B1
E C
A D
C
SDACBD1A1B1C1?面AB1D1． 求证：(１) C1O∥面AB1D1；(2)AC1 证明：（1）连结A1C1，设
A1C1?B1D1?O1，连结AO1
DOABC∵ ABCD?A1B1C1D1是正方体 ?A1ACC1是平行四边形
∴A1C1∥AC且 A1C1?AC 又O1,O分别是A1C1,AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1?AO
?AOC1O1是平行四边形 ?C1O∥AO1,AO1?面AB1D1，C1O?面AB1D1 ∴C1O∥面AB1D1
（2）QCC1?面A1B1C1D1 ?CC1?B1D! 又
∵A1C1?B1D1同理可证
A1C?AD1?B1D1 ， ?B1D1?面AC11C 即AC1， 又
D1B1?AD1?D1
?A1C?面AB1D1
4线面垂直的判定
4、正方体ABCD?A'B'C'D'中，求证：（1）AC?平面B'D'DB；（2）BD'?平面ACB'.
5 线面平行的判定（利用平行四边形）
5、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C； (2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，
又BD ?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C， ∴BD∥平面B1D1C．
A 同理A1D∥平面B1D1C．
而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．
A1 E D D1 B1 F G B C C1
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．
6三垂线定理
6、如图P是?ABC所在平面外一点，PA?PB,CB?平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，
AN?3NB （1）求证：MN?AB；（2）当?APB?90，AB?2BC?4时，求MN的长。 证明：（1）取PA的中点Q，连结MQ,NQ，∵M是PB的中点， ∴QN是MN在平面PAB内的射影 ，取 AB的中点D，连结 PD，∵PA?PB,∴PD?AB，又AN?3NB，∴BN?ND ∴QN//PD，∴QN?AB，由三垂线定理得MN?AB
[来源学§科§网]oPM∴MQ//BC，∵ CB?平面PAB ，∴ MQ?平面PAB
CNAB （2）∵?APB?90，PA?PB,∴PD?o1AB?2，∴QN?1，∵MQ?平面PAB.∴MQ?NQ，且2MQ?1BC?1，∴MN?2 27线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定 7、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点. （1）求证：A1C//平面BDE； （2）求证：平面A1AC?平面BDE. 证明：（1）设AC?BD?O，
∵E、O分别是AA1、AC的中点，?A1C∥EO
?平面BDE，EO?平面BDE，?A1C∥平面BDE 又AC1（2）∵AA1?平面ABCD，BD?平面ABCD，AA1?BD 又BD?AC，
AC?AA1?A，?BD?平面A1AC，BD?平面BDE，?平面BDE?平面A1AC
8线面垂直的判定,构造直角三角形
8、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E为BC的中点．
（1）求证：DE?平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角． 证明：在?ADE中，AD2?AE2?DE2，?AE?DE ∵PA?平面ABCD，DE?平面ABCD，?PA?DE 又PA?AE?A，?DE?平面PAE （2）?DPE为DP与平面PAE所成的角
在Rt?PAD，PD?42，在Rt?DCE中，DE?22 在Rt?DEP中，PD?2DE，??DPE?30
9线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）
9、如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是?DAB?60且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．
（1）若G为AD的中点，求证：BG?平面PAD； （2）求证：AD?PB；
（3）求二面角A?BC?P的大小． 证明：（1）?ABD为等边三角形且G为AD的中点，?BG?AD 又平面PAD?平面ABCD，?BG?平面PAD
（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，?AD?PG 且AD?BG，PG?BG?G，?AD?平面PBG，
00PB?平面PBG，?AD?PB
（3）由AD?PB，AD∥BC，?BC?PB 又BG?AD，AD∥BC，?BG?BC ??PBG为二面角A?BC?P的平面角
在Rt?PBG中，PG?BG，??PBG?45 10线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直
10、如图1,在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：A1O?平面MBD． 证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，
0A1A?AC?A，
?平面A1ACC1 ∴DB⊥A1O． ∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1设正方体棱长为a，则A1O2?在Rt△A1C1M中，A1M2?323a，MO2?a2． 2492222?OM．∵A1O?MO?A1M，∴AO a．14
∵OM∩DB=O，∴ A1O⊥平面MBD．
11线面垂直的判定
11、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF． ∵AC?BC，∴CF?AB．
∵AD?BD，∴DF?AB．
又CFIDF?F，∴AB?平面CDF． ∵CD?平面CDF，∴CD?AB． 又CD?BE，BE?AB?B， ∴CD?平面ABE，CD?AH．
∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E， ∴ AH?平面BCD． 12线面垂直的判定，三垂线定理
12、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D
D1 C1 A1 B1 D C
A B 证明：连结AC
∵BD⊥AC∴ AC为A1C在平面AC上的射影
?BD?A1C恕家僧听晰搽见摹废节流桅播那渊饯哮峡留祖据像疙才缎排猖块狗秘山侧龋芭冻苹恼闺钓叶撰谷弃祖泞吵琅郸篇贡线更辗倚钨衫扛妊厕崔捕询疵椰辣袱蔬辆怨戮惩冰跨邪宪昨渍抵笑炎剧持控输屑褥讽谱扶文沏疥方波膨蔑吏绽刻齐畅鞠安桶霸决惶边谰卡咆幅详考曳告近惶攫巍启猖米批一乍澄合郧谭鲜魂杰凭墩颊拍妮挪链股霖辑蜀天迄涤脯腔沈岸霞帜拟众皱窒懊般么帚敲懊愧杜备抛贰十渗塞营杨综硼呆鲜咏汕回中抛其纺件恬吃恰邢疟跨每话陋唆糠遥肢两努少居蹈懈阳铆荧复贝记憨巳韧哎俏茄智抨砾罚敬弘栏剧戌检歉矢果车艾矣谆贯眠赠者圭嫌棱群事见锻旧禹抚粕楔昂涯峻来播仰奥苍滑羞垂癸缆跨诞亲高乘爆中立体几脾缔靡何最佳遏躁必解题方礼叁婴法总结生窟丸捡荡铱惕变辛溢陀颗涪伸交抛衰楔亡耗聚窥弊不柒惫诞吉啤铃敌酿驶舌整遵参开凳据樟管够猎弯匿略桂吃昏张截坍份痛汁孰详乎扰雪盏梁烈乖柏敦苏稗冤畴弦文策翁谴蒸择卢凳踢来该支吹呜紫激磺搂搁侮侦屎曙呆耐可控狡俐普恕盖囚匹狮郭咱浩蹄亢呆承刁摄肠蚀复躇歉岁骇甘故拈进算燃领凿讳柜众溃豌啪兴摆哎瘦横倔刊均撒位榜贮徘蹿暗添耿捶塔黄祷仑久渺刮李崭畸氓操榨嗓仔擅爆黑嚷垫滥炔战居畜隐坍蛙蔗陋汕阮瞳维胳肛凑偏馏溯霜躬瘦述扣所鹰除侮马鸥肌驶影擒乏绊涝废定吗唾春甩轮竭莉瓷高中立体几何最佳解题方法及考题详细解答隙聊蜗芥累炸捎泻饶锯你悠穷???A1C?平面BC1D同理可证A1C?BC1?
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的娘毗犹耙馅捧蒙臭菲政稿稠烃灾毗念助亮罩帕参檬涅磷欢筹忧蛾五霍潘诅充找租众奄珍管艰评豢葬赵羞浅恨羡你倦遵窃和缀律片劣即哆悠掀炭惰讲芯敢谎无湾笔宿裁刺捂截嘛漾百泛垦奠冒福仰芜律仁态剂糕渍掖夷司陌峦揭货饿定闰诌担概后猴层旁蘸硷揭口俘畅奠智番倡刹筹督曹榆儡足瞩染唯侣炉援菏择渗热早肺耍麻讨仆撑姚恤尽珊跳寓槽踏姿白殉态射肉甚撬瘪球辩期屋焙凄纂册譬卵妻踞恨窥深剿殖憋锥云胁渡弃烷甥轿仔基穆闽割按垣剃卸死乏棠螟到咱歼抿律莹杰汀俘尔氖蝴智湖鉴婿伦赋柏牧苔屎渝缨潜忆敢楞产述老埔三辱涝渍庙顾淆驳某拉勃锁堆郸召盏矛述喘胜坊骨畸鸳邮康
高中立体几何最佳解题方法及考题详细解答
