五年级下册基础奥数教程含答案
第一讲 等差数列
例1 下面各数的和是多少？
0 1 2 3 4 5 … 48 49 1 2 3 4 5 6 … 49 50 2 3 4 5 6 7 … 50 51 … … … … … … … …
48 49 50 51 52 53 … 96 97 49 50 51 52 53 54 … 97 98
解：先逐行求和，再化简。
(0＋49)×50÷2＋(1＋50)×50÷2＋…＋(49＋98)×50÷2 ＝25×(49＋51＋…＋147) ＝25×(49＋147)×50÷2 ＝25×25×196 ＝625×200－625×4 ＝125000－2500 ＝122500
例2 一本图书除了封面和封底以外，每张纸的两面都标有页码，如果中央一张纸两面的页码之积是2450，则这本书的所有页码之和是多少？
解：根据题意，2450应该是两个相邻自然数的积。试算发现2450＝49×50，所以中央这张纸两面的页码分别是49和50，由此可以想到这一张是全书的第25张，全书共有24＋1＋24＝49(张)，合计共2×49＝98(页)。这样就可以用等差数列的求和公式，计算出所有页码之和是：
1＋2＋3＋…＋98＝(1＋98)×98÷2＝4851。
答：这本书的所有页码之和是4851。
例3 盒子里放有编号为1到10的十个球，小明先后三次从盒中共取出9个球。如果从第二次开始，每次取出的球的编号之和都是前一次的2倍，那么未取出的球的编号是多少？
解：这了便于思考，设第一次取出的球的编号是a，第二次取出的球的编号之和就是2a，第三次取出的球的编号之和就是4a，三次共取出的9个球的编号之和就是a＋2a＋4a＝7a，即三次共取出的9个球的编号之和是7的倍数。10个球的编号之和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55, 55除以7余6，余数是6，说明未取出的球的编号是6。
1
答：未取出的球的编号是6。
例4 有10张长3cm、宽2cm的纸片，将它们按照下图的样子摆在桌面上，这10张纸片所盖住的桌面面积是多少平方厘米？
解：观察发现：纸片盖住的桌面面积成等差数列(单位：cm2)。 6，8，10，12，……
公差是2。所以，这10张纸片所盖住的桌面面积是6＋2×9＝24(cm2)。
练 习 一
1．计算：23.91＋37.78＋51.65＋65.52＋79.39＋93.26＋107.13＝？ 2．计算 1＋2＋3＋2＋4＋6＋3＋6＋9＋…＋100＋200＋300。 3．计算：1＋3＋4＋6＋7＋9＋10＋12＋13＋…＋66＋67＋69＋70。
4．计算 100×95－95×90＋90×85－85×80＋80×75－75×70＋…＋20×15－15×10＋10×5。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题）
5．计算（1994＋1992＋1990＋…＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1991＋1993）。
6．计算 （2004－1）＋（2003－2）＋（2002－3）＋…＋（1003－1002）。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题）
7．如图，照这样摆下去，若摆到80层，一共需要□多少个？■多少个？
8．一个等边三角形边长1m，每隔2cm在边上取一点，再从这些点出发，分别作与其他两边平行的直线，并且与其他两边相交：
(1)求边长为2cm的三角形的个数； (2)求所作平行线的总长度。
9. 一些边长为 1 cm的正方体, 像下图那样层层重叠放置, 那么, 当重叠到 5 层时, 这个立体图形的表面积是________ cm2。(1994 年全国小学数学奥林匹克决赛题)
10．一只猴子每天都要吃桃子，如果它每天吃桃子的数量
互不
2
相同，那么100个桃子最多够这只猴子吃多少天？
11．某同学把他最喜爱的书顺序编号为1, 2，3，…，所有编号之和是100的倍数且小于1000，则他编号的最大数是多少？(2002年小学数学奥林匹克预赛题)
12. 有若干人的年龄的和是 4476 岁, 其中年龄最大的不超过 79 岁, 最小的不低于 30 岁, 而年龄相同的人不超过 3 人, 则这些人中至少有多少位老年人(年龄不低于 60 岁的为老年人)? (2001 年小学数学奥林匹克预赛题)
第二讲 图形问题
例1 图中有多少三角形？
解：顶点向上的小三角形有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)； 顶点向上的由4个小三角形组成的三角形有1＋2＋…＋7＝28(个)； 顶点向上的由9个小三角形组成的三角形有1＋2＋…＋6＝21(个)； 顶点向上的由16个小三角形组成的三角形有1＋2＋…＋5＝15(个)； 顶点向上的由25个小三角形组成的三角形有1＋2＋3＋4＝10(个)； 顶点向上的由36个小三角形组成的三角形有1＋2＋3＝6(个)； 顶点向上的由49个小三角形组成的三角形有1＋2＝3(个)； 顶点向上的由64个小三角形组成的三角形有1个； 顶点向下的小三角形有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28(个)；
顶点向下的由4个小三角形组成的三角形有1＋2＋…＋5＝15(个)； 顶点向下的由9个小三角形组成的三角形有1＋2＋3＝6(个)； 顶点向下的由16个小三角形组成的三角形有1个；
总共有36＋28＋21＋15＋10＋6＋3＋1＋28＋15＋6＋1＝170(个)。 例2 图中每个小正方形的边长都是1，图中阴影部分的面积是多少？
解法一：用大长方形的面积，减去阴影周围空白部分的面积。长方形的面积是6×5＝30，左上角三角形的面积是2×2÷2＝2，左下角三角形的面积是3×1÷2＝1.5，右下角左边三角形的面积是2×1÷2＝1，右边梯形的面积是(1＋4)×3÷2＝7.5，右上角左边三角形
3
的面积是2×1÷2＝1，右边梯形的面积是(1＋2)×3÷2＝4.5，所以阴影部分的面积是30－(2＋1.5＋1＋7.5＋1＋4.5)＝12.5。
解法二：用四年级下期培训班上学过的格点图形面积计算公式：S＝N＋L÷2－1计算。公式中，S表示格点图形的面积，N表示图形内部的点数，L表示图形边界上的点数。本题中，N＝9，L＝9，所以，S＝9＋9÷2－1＝12.5。
例3 下图是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是水洼。一只小鸟飞来飞去四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它又飞到关于C点对称的3号位；再飞到关于A点对称的4号位；再飞到关于B点对称的位置；……如此继续对称地飞下去。由此推断，2004号位和0号位之间的距离是多少米？ 2 5 C 3 0 B A
4 1 解：观察发现6号位与0号位重合，即小鸟每飞6次就要回到0号位。2004被6除无余，所以2004号位与6号位重合，它们之间的距离是0米。
例4 已知正方形的一条对角线是13厘米，正方形的面积是多少平方厘米？
解：再取一个同样的正方形，沿各自的对角线把每个正方形分成两个等腰直角三角形，然后拼成一个大正方形，大正方形的面积是13×13＝169(cm2)，所以原来正方形的面积是169÷2＝84.5(cm2)。顺便还得到一个用正方形对角线的长度L求正方形面积S的计算公式：S＝L2÷2。
练 习 二
1．如图，在一条直线上有依次排列的四个汽车站甲、乙、丙、丁，现在要在A、B、或C处建一个加油站，使这四个汽车站到加油站的距离总和最小，加油站应建在哪里？ 甲 乙 丙 丁 A B C 2．长方形的地里有4棵树，如图，要把这块地分成形状相同的4块，并且每块里都有一棵树，应该怎样分？
· · · ·
3．下图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔。如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入几号球袋？
4
1号袋 2号袋
3号袋 4号袋
4．如图，正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB＝BC＝CD＝3m。现用4m长的绳子将一只羊拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在哪棵树上？
池塘 A B C D
5．如图，长方形ABCD的对角线相交于O，过O点作一条直线MN。长方形的长是10cm，宽是6cm。那么梯形ABMN的面积是多少平方厘米？
A N D O B M C
6．下图中小正方形的面积都是1 cm2，星形的面积是多少？
7．图中，长方形的长和宽分别是12cm、9cm，把三角形的三条边平均分成三段，得到A、B、C、D、E、F六个点，连接AF、BC、DE，得到一个六边形，这个六边形的面积是多少平方厘米？
8．一个由若干个小等边三角形组成的花园如图，在每个 小等边三角形的每条边上均匀地栽了15株花(每条边的端点 上都栽有花)。这个花园共栽花多少株？
9．如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，阴影部分的面积是200 cm2，且四周的四个正方形的周长的和是240cm，那么四周的四个正方形的面积的和是多少平方厘米？
10．设计一种方案，把一个直角三角形分成两块，再拼成一个与原
三角形面
5 如果
DCEFAB
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