【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，考查了利用了ex＞x进行放缩的技巧，是难题．
22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知线C的极坐
1?x?t?2??标方程为：ρ＝22sin（θ+），过P（0，1）的直线l的参数方程为：?（t为参数），直
43?y?1?t?2?线l与曲线C交于M，N两点．
（1）求出直线l与曲线C的直角坐标方程． （2）求｜PM｜2+｜PN｜2的值．
【答案】（1）3x?y?1?0，x?y?2x?2y?0；（2）3 【解析】 【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换； （2）将直线l的参数方程代入圆C的方程中，得到关于t的方程，根据t的几何意义可得
22PM|2?PN|2?t1|2?t2|2的值．
1?x?t?2?【详解】（1）直线l：?（t为参数），消去参数t得：3x?y?1?0
3?y?1?t?2?直线l的直角坐标方程为：3x?y?1?0， 曲线C的极坐标方程??22sin???即ρ2＝2ρsinθ+2ρcosθ，
可得直角坐标方程：x+y﹣2x﹣2y＝0；
2
2
??????2sin??2cos?， 4?1?x?t?2?（2）把直线l的参数方程?（t为参数）
3?y?1?t?2?代入圆C的方程，化简得：t﹣t﹣1＝0，
2
，t1?t2??1， ∴t1?t2?1∴PM|?PN|?t1|?t2|?(t1?t2)?2t1t2?1?2?3．
【点睛】本题主要考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了直线参数方程的几何意义，考查了学生的运算能力和转化能力，属中档题．
23.设函数f（x）＝｜3﹣2x｜+｜2x﹣a｜ （1）当a＝1时，求不等式f（x）≤3的解集； （2）若存在x∈R使得不等式f（x）≤t+
222224+2对任意t＞0恒成立，求实数a的取值范围． t?17?【答案】（1）?,?；（2）?3?a?9
44??【解析】 【分析】
（1）解法一：利用分类讨论法去掉绝对值，解对应的不等式即可；
解法二：利用分段函数表示f（x），作出y＝f（x）和直线y＝3的图象，利用图象求出不等式的解集； （2）由题意可得f（x）的最小值不大于t?用基本不等式求出t?4?2的最小值，利用绝对值不等式求出f（x）的最小值，利t4?2的最小值， t再列不等式求得实数a的取值范围．
【详解】（1）解法一：当a＝1时，f（x）＝|3﹣2x|+|2x﹣1|；
1时，不等式f（x）≤3可化为：﹣2x+1﹣2x+3≤3， 2111解得x?，此时?x?；
44213当＜x＜时，不等式f（x）≤3可化为为：2x﹣1﹣2x+3≤3， 2213此不等式恒成立，此时得＜x＜；
223当x?时，不等式f（x）≤3可化为：2x﹣1+2x﹣3≤3，
2737解得得x?，此时?x?，
424当x?综上知，
1717?x?，即不等式的解集为[，]； 44441??4x?4，x??2?3?1解法二：利用分段函数表示f（x）??2，＜x＜；
22?3?4x?4，x??2?作出y＝f（x）和直线y＝3的图象，如图所示：
17或x?， 4417由图象可得不等式的解集为[，]；
44由f（x）＝3解得：x?（2）由f（x）＝|3﹣2x|+|2x﹣a|≥|3﹣2x+2x﹣a|＝|3﹣a|＝|a﹣3|， 即f（x）的最小值为|a﹣3|， 由t?444?2≥2t??2＝6，当且仅当t?，即t＝2时，取等号， ttt4?2对任意t＞0恒成立， t因为存在x∈R，使得不等式f（x）≤t?所以|a﹣3|≤6，解得﹣3≤a≤9； 所以实数a的取值范围是﹣3≤a≤9．
【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．
福建省南平市2024-2024学年高二下学期期末质量检测数学(理)试题Word版含解析
