【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数求函数的最值,考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法,考查了利用了ex>x进行放缩的技巧,是难题.
22.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知线C的极坐
1?x?t?2??标方程为:ρ=22sin(θ+),过P(0,1)的直线l的参数方程为:?(t为参数),直
43?y?1?t?2?线l与曲线C交于M,N两点.
(1)求出直线l与曲线C的直角坐标方程. (2)求|PM|2+|PN|2的值.
【答案】(1)3x?y?1?0,x?y?2x?2y?0;(2)3 【解析】 【分析】
(1)直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换; (2)将直线l的参数方程代入圆C的方程中,得到关于t的方程,根据t的几何意义可得
22PM|2?PN|2?t1|2?t2|2的值.
1?x?t?2?【详解】(1)直线l:?(t为参数),消去参数t得:3x?y?1?0
3?y?1?t?2?直线l的直角坐标方程为:3x?y?1?0, 曲线C的极坐标方程??22sin???即ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,
可得直角坐标方程:x+y﹣2x﹣2y=0;
2
2
??????2sin??2cos?, 4?1?x?t?2?(2)把直线l的参数方程?(t为参数)
3?y?1?t?2?代入圆C的方程,化简得:t﹣t﹣1=0,
2
,t1?t2??1, ∴t1?t2?1∴PM|?PN|?t1|?t2|?(t1?t2)?2t1t2?1?2?3.
【点睛】本题主要考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,考查了直线参数方程的几何意义,考查了学生的运算能力和转化能力,属中档题.
23.设函数f(x)=|3﹣2x|+|2x﹣a| (1)当a=1时,求不等式f(x)≤3的解集; (2)若存在x∈R使得不等式f(x)≤t+
222224+2对任意t>0恒成立,求实数a的取值范围. t?17?【答案】(1)?,?;(2)?3?a?9
44??【解析】 【分析】
(1)解法一:利用分类讨论法去掉绝对值,解对应的不等式即可;
解法二:利用分段函数表示f(x),作出y=f(x)和直线y=3的图象,利用图象求出不等式的解集; (2)由题意可得f(x)的最小值不大于t?用基本不等式求出t?4?2的最小值,利用绝对值不等式求出f(x)的最小值,利t4?2的最小值, t再列不等式求得实数a的取值范围.
【详解】(1)解法一:当a=1时,f(x)=|3﹣2x|+|2x﹣1|;
1时,不等式f(x)≤3可化为:﹣2x+1﹣2x+3≤3, 2111解得x?,此时?x?;
44213当<x<时,不等式f(x)≤3可化为为:2x﹣1﹣2x+3≤3, 2213此不等式恒成立,此时得<x<;
223当x?时,不等式f(x)≤3可化为:2x﹣1+2x﹣3≤3,
2737解得得x?,此时?x?,
424当x?综上知,
1717?x?,即不等式的解集为[,]; 44441??4x?4,x??2?3?1解法二:利用分段函数表示f(x)??2,<x<;
22?3?4x?4,x??2?作出y=f(x)和直线y=3的图象,如图所示:
17或x?, 4417由图象可得不等式的解集为[,];
44由f(x)=3解得:x?(2)由f(x)=|3﹣2x|+|2x﹣a|≥|3﹣2x+2x﹣a|=|3﹣a|=|a﹣3|, 即f(x)的最小值为|a﹣3|, 由t?444?2≥2t??2=6,当且仅当t?,即t=2时,取等号, ttt4?2对任意t>0恒成立, t因为存在x∈R,使得不等式f(x)≤t?所以|a﹣3|≤6,解得﹣3≤a≤9; 所以实数a的取值范围是﹣3≤a≤9.
【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题,也考查了不等式恒成立问题,是中档题.
福建省南平市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学(理)试题Word版含解析
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