2024年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍
专题08立体几何热点问题（专项训练）
1.（一题多解）（2024浙江卷）如图，已知多面体 ABCAiBiCi, AiA，BiB，CiC均垂直于平面 ABC,/ ABC = 120 ° AiA= 4, CiC= i , AB = BC= BiB = 2.
（i）证明：ABi丄平面AiBiCi；
⑵求直线ACi与平面ABBi所成的角的正弦值.
法一 ⑴证明 由 AB= 2, AAi= 4, BBi = 2, AAi丄 AB, BBi丄 AB 得 ABi= AiBi= 2 2，所以 AiB2+ AB?= AA2， 由 ABi 丄AiBi.
由 BC= 2, BBi= 2, C6= i, BBi± BC, CCi±BC 得 BiCi= 5, 由 AB= BC = 2, / ABC = i20°得 AC = 2 3, 由 CCi±AC,得 ACL i3, 所以 AB? + BiC? = AC?, 故 ABi 丄BiCi，又 AiBi BiCi= Bi, 因此ABi丄平面AiBiCi.
⑵解 如图，过点Ci作CiD丄AiBi，交直线AiBi于点D，连接AD.
由ABi丄平面AiBiCi, ABi?平面ABBi，得 平面AiBiCiX平面ABB?, 由CiD丄AiBi得CiD丄平面ABBi, 所以/ CiAD是ACi与平面ABB?所成的角. 由 BiCi =
, AiBi = 2制2, AiCi =寸21 得
91
2
所以 CiD =\\3,故 sin/ CiAD = CCD^^l39.
因此，直线ACi与平面ABBi所成的角的正弦值是 39
法二 ⑴证明 如图，以AC的中点0为原点，分别以射线 OB, OC为x, y轴的正半轴，建立空间直角坐 标系O — xy乙
由题意知各点坐标如下： A(0,—
3, 0), B(1 , 0, 0), Ai(0，— 3, 4), Bi(1 , 0, 2), Ci(0 , 3 , 1).
因此 ABi= (1, 3 , 2),
AiBi = (1 ,
3, — 2), AiCi = (0, 2 3, — 3).
n AB = 0 , x+ 勺 3y=
0 ,
BBi = 0 ,
2z= 0 ,
由 ABi AiBi = 0 得 ABi丄 AiBi.
由 ABi AiCi = 0 得 ABi 丄 AiCi, AiBi A AiCi = Ai, 所以ABi丄平面AiBiCi. ⑵解 设直线ACi与平面ABBi所成的角为0. 由(i)可知 ACi= (0, 2 3, i), AB = (i , 3 , 0) , BBi = (0 , 0 , 2).
设平面
ABB3的法向量n= (x , y , z).
令 y= i,则 x=—
3 , z= 0 , 可得平面 ABBi的一个法向量 n = (— 3 , i, 0).
所以 sin 0
=|cos〈ACi , n〉|=呼血弋. 因此，直线ACi与平面ABBi所成
|AC? |
的角的正弦值是 亠爭
i| 2.(20i9石家庄模拟)在四棱锥P— ABCE中，PA丄底面ABCE , CD丄AE , AC平分/ BAD , G为PC的中点,
2
PA = AD = 2, BC = DE, AB = 3, CD = 2 3, F, M 分别为 BC, EG 上一点，且 AF // CD.
ti
(1)求 EM
MG 的值，使得CM //平面AFG
(2) 求直线CE与平面AFG所成角的正弦值. 解 ⑴在Rt△ ADC中，/ ADC为直角， tan / CAD =竽=(空，则/ CAD = 60° 又 AC 平分/ BAD ,二/ BAC = 60°
?/ AB = 3, AC= 2AD= 4,二在厶ABC中，由余弦定理可得
BC= 13,
又 AF // CD , AFP AG = A，?平面 CDM //平面 AFG , 又 CM?平面 CDM ,
??? DE = 13.连接 DM，当 EM _ ED \\不
MG =
DA= 2
时，AG// DM ,
? CM // 平面 AFG.
⑵分别以DA , AF, AP为x, y, z轴的正方向，A为原点，建立空间直角坐标系 A — xyz,如图所示,
E
则 A(0, 0, 0), C( — 2, 2 3, 0), D(— 2, 0, 0), P(0, 0, 2) , E(— 2— 13 , 0 , 0), 可得 G( — 1, 3 , 1),
则 AG = (— 1 , 3 , 1) , CD = (0 , — 2 3 , 0), CE = (— 13 , — 2 3 , 0).
设平面 AFG的法向量为 n= (x , y , z) , ?/ AF // CD ,
AG n = 0 ,
x+ 屮 3y+ z= 0 ,
CD n = 0 ,
-2\\3y=0,
令x= 1,得平面 AFG的一个法向量为 n= (1, 0 , 1). ?直线CE与平面AFG所成角的正弦值为
、CE, n
=
\\ 13 26
13+ 12 ? 2
10
3 . (2024北京卷)如图，在三棱柱
ABC — A1B1C1 中，CC1 丄平面 ABC , D, E , F , G 分别为 AA1, AC ,A1C1 , BB1 的中点，AB_ BC_ ,5 , AC_ AA1_ 2.
93
专题08立体几何热点问题(专项训练)-2024年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍(解析版)
