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几类不同增长的函数模型
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．
3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．
【要点梳理】
要点一：几类函数模型的增长差异
一般地，对于指数函数y?a(a?1)和幂函数y?x(??0)，通过探索可以发现，在区间?0,???上，
x?无论?比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于x?，但由于ax的增长快于x?的增长，因此总存在一个x0，当x?x0时，就会有ax?x?．同样地，对于对数函数y?logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于x?，但由于logax的增长慢于x?的
?增长，因此总存在一个x0，当x?x0时，就会有logax?x．
综上所述，在区间?0,???上，尽管函数y?a(a?1)、y?x(??0)和y?logax(a?1)都是增函
x?数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y?a(a?1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y?x(??0)的增长速度，而y?logax(a?1)的增长则会越来越慢，因此总会
?x存在一个x0，当x?x0时，就有logax?x?a.
x?三类函数模型增长规律的定性描述：
1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）； 2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）； 3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）． 如图所示：
要点诠释：
当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．
要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型
若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．
常用的函数模型有以下几类：
（1）线性增长模型：y?kx?b(k?0)；（2）线性减少模型：y?kx?b(k?0)．
（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数
y?ax2?bx?c(a?0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数
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y?ax2?bx?c(a?0)．
（3）指数函数模型
f(x)?abx?c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1），当b?1时，为快速增长模型；当0?b?1时，
为平缓减少模型．
（4）对数函数模型
f(x)?mlogax?n（m、n、a为常数，a＞0，a≠1）；当a?1时，为平缓增长模型；当0?a?1时，
为快速减少模型．
（5）反比例函数模型
y?k当k?0时，函数在区间???,0?和?0,???上都是减函数；当k?0时，函数在???,0?(k?0)．
x和?0,???上都是增函数．
（6）分段函数模型
当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．
【典型例题】
类型一、研究函数的变化规律并比较其大小
例1．（1）已知函数f(x)?2?x，分别求f(x)在（－1，0）、[0，3）、[3，5）、[5，+∞）上的零点及总个数．
（2）比较2x与x2的大小关系．
（3）通过作图，比较2x、x2、log2x的大小关系． 【答案】（1）3 （2）略（3）略
【解析】 运用图象估计零点区间，借助计算器或计算机求出精确解，然后再分区间讨论、比较函数值的大小．
（1）应用计算器或计算机，以合适的长列出自变量与函数值的对应值表． x y=2x y=x2 y=2x－x2 x y=2x y=x2 y=2x－x2 … … … … 8 256 64 192 －2 0.25 4 －3.75 10 1024 100 924 －1 0.5 1 －0.5 12 4096 14 3952 0 1 0 1 14 16384 196 16188 2 4 4 0 16 65536 256 65280 4 16 16 0 … … … … 6 64 36 28 x2应用二分法可求得（－1，0）中x≈－0.7666，[0，3）中x=2.000，[3，5）中x=4.000，[5，+∞）中无零点．
∴共有3个零点，分别为x1≈－0.7666，x2=2.000，x3=4.000． （2）在同一平面直角坐标系中画出y=2x，y=x2，y=log2x的图象，如图所示． 当x∈（－∞，－0.7666）时，2x＜x2；
当x∈（－0.7666，2.000）时，2x＞x2；当x=－0.7666时，2x=x2； 当x∈（2.000，4.000）时，2x＜x2；当x=2.000时，2x=x2； 当x∈（4.000，+∞）时，2x＞x2；当x=4.000时，2x=x2． （3）当x∈（－∞，－0.7666）时，2x＜x2；log2x不存在；
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当x∈（－0.7666,0）时，2x＞x2；log2x不存在；当x=－0.7666时，2x=x2； 当x∈（0，2.000）时，log2x＜x2＜2x；
当x∈（2.000，4.000）时，log2x＜2x＜x2；当x=2.000时，log2x＜2x=x2； 当x∈（4.000，+∞）时，log2x＜x2＜2x；当x=4.000时，log2x＜x2=2x．
【总结升华】由本例我们可以进一步领悟幂函数、指数函数、对数函数的增长规律，即在（0，+∞）上必存在一个x0，使得当x＞x0时，logax＜xn＜ax（a＞1）恒成立．但在（0，x0）上，该不等式不一定成立．
举一反三：
【变式1】比较3x、x3、log3x（x＞10）的大小． 【答案】3x>x3>log3x
x3【解析】分别画出y?3,y?x,y?log3x的图象，可得结论．
类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型
【高清课程：几类不同增长的函数模型377565 例1】
例2．假设你有一批资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报率如下： 方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
【答案】投资1-6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8-10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．
【解析】设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y?40(x?N)进行描述；方案二可以用函数y?10x(x?N)进行描述；方案三可以用函数y?0.4?2是常数函数，后两个都是递增函数模型．
如图
举一反三：
【变式1】为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（分）与通话费y（元）的关系如图所示．
*x?1*(x?N*)进行描述．三个模型中，第一个
（1）分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．
1122x?29，y2?x（2）当x?96时，y1=y2，两种卡收费一致；当x?96时，52332y1＞y2，即如意卡便宜；当x?96时，y1＜y2，即便民卡便宜．
3【答案】（1）y1?【解析】 （1）由图象可设y1=k1x+29，y2=k2x， 把点B（30，35），C（30，15）分别代入y1，y2，
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知识讲解_几类不同增长的函数模型_基础
