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哈尔滨市第六中学2013届高三第二次模拟考试
数学试卷（理工类）
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知a?R，若复数z?a?2i为纯虚数，则|3?ai|?（ ） 1?i（A）13 （B）13 （C）10 （D）10
2，则tan2??（ ）
32333（A） （B）?3或? （C）? （D）?3
3332．已知???0,??，cos(???)??3．下列函数中在区间(1,??)上为增函数，且其图像为轴对称图形的是（ ） （A）y??x2?2x?1 （B）y?cosx （C）y?lg|x?1| （D）y?x3?3x2?3x 4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） （A）
160 （B）160 （C）64?322 （D）88?82 35．计划在4个不同的体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有（ ）
（A）60种 （B）42种 （C）36种 （D）24种
6．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l:y?x?1被该圆所截得的弦长为
22，则圆C的标准方程为（ ）
（A）(x?3)?y?4 （B）(x?1)?y?4 （C）(x?1)?y?4 （D）(x?3)?y?4
7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）
222222221 （B）?1 （C）2 （D）1 21128．已知函数f(x)?cos2x?sin2x?sinxcosx?，则（ ）
222（A）
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3?3?时取得最小值2，其图像关于点(,0)对称 883?5?（B）f(x)在x?时取得最小值0，其图像关于点(,0)对称
88?3?7?（C）f(x)在(,)单调递减，其图像关于直线x??对称
888?3?7?（D）f(x)在(,)单调递增，其图像关于直线x??对称
888（A）f(x)在x?9．已知向量a?(4?x,1)，b?(y,x?5)，x,y?(0,??)，且a?b，则xy取得最小值时，y=
（ ）
（A）3 （B） 1 （C）2 （D）
5 210．已知球O的直径PQ?4，A,B,C是球O球面上的三点， ?ABC是正三角形，且
?APQ??BPQ??CPQ?30?，则三棱锥P?ABC的体积为（ ）
393273 （B）3 （C）3 （D）3 4424x2y211．过双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左焦点F??c,0?作圆x2?y2?a2的切线，切点为E，
ab1延长FE交抛物线y2?4cx于点P，O为原点，若OE?OF?OP，则双曲线的离心率为
2（ ）
（A）
??（A）
42?242?21?51?3 （B） （C） （D） 227712．已知x0是函数f(x)?2sinx??lnx(x?(0,?))的零点，x1?x2，则 ①x0?(1,e)；②x0?(e,?)；③f(x1)?f(x2)?0；④f(x1)?f(x2)?0 其中正确的命题是（ ）
（A）①④ （B）②④ （C）①③ （D）②③
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
213．已知a?0，若(x?1)(ax?1)的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中x项的
26系数为___________ 14．已知不等式
1?1的解集为p，不等式x2?(a?1)x?a?0的解集为q，若p是q的x?1精品文档
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充分不必要条件，则实数a的取值范围是_______________ 15．设函数f(x)???lnx,x?0，D是由x轴和曲线y?f(x)及该曲线在点?1,0?处的切
??2x?1,x?0线所围成的封闭区域，则z?x?2y在D上的最大值为______________
16．若a2?c2?b，且sinAcosC?2cosAsinC，?ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c，则b?__________
三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
已知等比数列?an?是递增数列，a2a5?32,a3?a4?12，数列?bn?满足b1?1，且
bn?1?2bn?2an（n?N?）
（1）证明：数列??bn??是等差数列； a?n?（2）若对任意n?N?，不等式(n?2)bn?1??bn总成立，求实数?的最大值．
（18）（本小题满分12分）
某射击比赛规则如下，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中还可以进行第三次射击，但此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，已知某射手在100米处击中目标的概率为
1，他的命中率与目标距离的平方成反比，且各次射击都是相互独立的 2（1）求这名射手在射击比赛中命中目标的概率；
（2）若这名射手在射击比赛中得分记为?，求?的分布列与数学期望． 精品文档
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（19）（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，BC?2，BC1?2，CC1?2，?ABC是以BC为底边的等腰三角形，平面ABC?平面BCC1B1，E,F分别为棱AB、CC1的中点 （1）求证：EF//平面A1BC1； （2）若
AC为整数，且
EF与平面ACC1A1所成的角的余弦值为
2，求二面角3C?AA1?B的余弦值．
（20）（本小题满分12分）
x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，过点A与AF2ab垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2F1F2?F2Q?0，过A,Q,F2三点的圆的半径为2，过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于G,H两点（G在M,H之间） （1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线l的斜率k?0，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PG,PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围？如果不存在，请说明理由．
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（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)?12x?2alnx?(a?2)x,a?R 2（1）当a?0时，讨论函数f(x)的单调性；
（2）是否存在实数a，对任意的x1,x2?(0,??)，且x2?x1，有若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上． （1）若
f(x2)?f(x1)?a恒成立，
x2?x1EC1ED1DC的值； ?,?，求
EB3EA2AB2FA（2）若EF?FA?FB，证明：EF//CD．
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 精品文档
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极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x正半轴为极轴，
?x?m?tcos?已知曲线C1的极坐标方程为??4cos?，曲线C2的参数方程是?（t为参数，
y?tsin??0????)，射线???,????
（1）求证：|OB|?|OC|?2|OA|； （2）当??
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知a,b,c均为正数
（1）证明：a2?b2?c2?(?
（2）若a?b?c?1，求3a?1?3b?1?3c?1的最大值．
?4,?????4与曲线C1交于极点O外的三点A,B,C
?12时，B,C两点在曲线C2上，求m与?的值．
1a112?)?63，并确定a,b,c如何取值时等号成立； bc
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