BCBC2
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝AB＝＝.
2BC2
10．移动通信公司建设的钢架信号塔，它的一个侧面的示意图如图7.CD是等腰三角形ABC底边上的高，分别过点A、点B作两腰的垂线段，垂足分别为B1，A1，再过A1，B1分别作两腰的垂线段所得的垂足为B2，A2，用同样的作法依次得4
到垂足B3，A3，….若AB为3 m，sinα＝5，则水平钢条A2B2的长度为( C )、
图7
94812A.5 m B．2 m C.25 m D.5 m CB14
【解析】 在Rt△ACB1中，∵sinα＝AC＝5， ∴可以假设CB1＝4k，AC＝BC＝5k， CA216
在Rt△CA2B1中，sinα＝CB，∴CA2＝5k，
1
16k
A2B2CA2516
∵A2B2∥AB，∴AB＝CA＝5k＝25， 1648
∴A2B2＝25×3＝25(m)．
二、 填空题(每题4分，共24 分)
11．[2024·德州]如图8，一架长为6 m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为__1.02__米．(sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，
cos70°≈0.34，cos50°≈0.64)
图8
【解析】 ∵∠ABO＝70°，AB＝6 m， AOAO∴sin70°＝AB＝6≈0.94， 解得AO≈5.64(m)， ∵∠CDO＝50°，DC＝6 m，
CO∴sin50°＝6≈0.77，解得CO≈4.62(m)， 则AC≈5.64－4.62＝1.02(m)．
1?2?12．在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tanA－1|＋?cosB－2?＝0，那么∠C＝__75°__．
??1?2?
【解析】 ∵△ABC中，|tanA－1|＋?cosB－2?＝0，
??1
∴tanA＝1，cosB＝2. ∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝75°.
13．[2024·苏州]如图9，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝25，BC＝5.将△ABC4绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′，连结B′C，则sin∠ACB′＝__5__．
图9 第13题答图
【解析】 如答图，过点B′作B′D⊥AC于D， 由旋转可知∠B′AB＝90°，AB′＝AB＝25， ∴∠AB′D＋∠B′AD＝∠B′AD＋∠CAB， ∴∠AB′D＝∠CAB，
∵AB＝25，BC＝5，∴AC＝5，
5
∴AD＝AB′·sin∠AB′D＝AB′·sin∠CAB＝25×5＝2，∴CD＝5－2＝3， ∴B′D＝
（25）2－22＝4，
B′D4
∴B′C＝5，∴sin∠ACB′＝B′C＝5.
14．如图10，△ABC内接于⊙O，AO＝2，BC＝23，则∠BAC的度数为__60°__．
图10 第14题答图
【解析】 如答图，连结OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D. 11
∵OD⊥BC，∴BD＝2BC＝2×23＝3. 在Rt△OBD中，OB＝OA＝2，BD＝3， BD3
∴cos∠OBD＝OB＝2，∴∠OBD＝30°. 又∵OB＝OC，
∴∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°， 1
∴∠BAC＝2∠BOC＝60°.
15．[2024·盐城]如图11，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为__2__．
图11 第15题答图
AD2
【解析】 如答图，过点A作AD⊥BC于点D，又∠C＝45°，故sinC＝AC＝2，AD
tanC＝CD＝1，设AD＝x，则AC＝2AD＝2x，CD＝x，AB＝2AC＝2x，在Rt△ACD中，∠ADB＝90°，由勾股定理可得：AD2＋BD2＝AB2，得BD＝3x，∴BC＝BD＋CD＝(3＋1)x＝6＋2，解得x＝2，故AC＝2.
16．[2024·自贡]如图12，在由10个完全相同的正三角形构成的网络图中，∠α，21∠β如图所示，则cos(α＋β)＝__7__．
第1章核心素养评估考试试卷-20春浙教版九年级数学下册同步测试
