微专题：多面体的外接球与内切球
[学习目标]
1、通过剖析高考题，掌握几何体的外接球和内切球问题，降低对此类题的畏难情绪。
2、通过变式演练和归纳总结，体验解决多面体“接”、“切”问题的思维过程，感悟不同方法的要领。 [学习重难点] 多面体外接和内切问题的解题方法 [考情分析]
球与多面体的关系是高考考查的重点，但同学们又因为缺乏较强的空间想象能力，较难找到解题的切入点和突破口。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置是关键。
活动一 心动入境 复习旧知
一、常考的多面体的外接球（定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上．） 模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）（顶点在底面投影为底面多边形顶点） 球半径公式：球包 直柱 球包正方体 球包棱直锥 锥 ?h?R????r2， ?2? 球包长方体 球包四棱柱 球包三棱柱 （r为底面外接圆半径） 2 模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线） 实例：正棱锥（顶点在底面投影为底面多边形外接圆圆心） 球半径计算方程：?h?R??r2?R22h2?r2?h?2hR?r?0?R?2h22， 二、正多面体的内切球（体中球）
锥体的内切球： 边长为a的正方体： 边长a的正八面体： R?____________． 正四面体的内切球R= R= 半径为
活动二 灵动探究 剖析思路
类型一：求外接球半径相关问题
解题技巧一：补形（长方体或者正方体），不需要找出球心的位置即可求出球半径 1、 墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
PPPcAaBbCcCAbaBcCAbaB图3图2
例1：几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的
体积为
图1
例2、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD＝
2、 对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB?CD，AD?BC，AC?BD）
例1、棱长都为2，则该正四面体外接球的体积为
图12ByzxabzAxDycC?，则棱锥P－AOB的外接球的体积为_______ 3
例2、所示三棱锥A?BCD，其中AB?CD?5,AC?BD?6,AD?BC?7,则该三棱锥外接球的表面积为 .
解题技巧二：定心
(关键在确定球心，找球心的位置后利用勾股定理等手段即可求出球半径) 1、折叠模型
题设：①两直角三角形拼接在一起(斜边相同)模型(如图13)
②两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)
PA'
OBCOAH2EBDH1CA图11图13
例1：三棱锥P?ABC中，PA?PB,AC?3,BC?1,?BAC?（AB?CD），则三棱锥P?ABC外接球的
?6半径为 .
例2：三棱锥P?ABC中，平面PAB?平面ABC，△PAB和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P?ABC外接球的半径为 .
2、垂线模型（一条直线垂直于一个平面）:球包直柱、球包直椎
BPO2AHOO1C
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