2024 年全国高中数学联赛（四川预赛）试题
参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档；第 9 题 4 分一个档次、 第 10 题和第 11 题均为 5 分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准评分.
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.
8、1346.
13 288
二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1、?3 2、 2
3、8 4、
18
? ?、12
6、6 ? 6 ln 6 7、
1
9.（本题满分 16 分）设点 A 的坐标为(0, 3) ，点 B, C 为圆O ： x? y? 25 上的两动点，满足?BAC ? 90，求△ ABC 面积的最大值.
解：如图，设 B(x1, y1 ), C(x2 , y2 ) ， P(x, y) 为线段 BC 的中点.
2
则 1
?
2 2
x? y? 25 ①
2 1
y
2 2 x2 ? y2 ? 25 ②
A
x1 x2 ? ( y1 ? 3)( y2 ? 3) ? 0 ③
O1 B O x x1 ? x2 ? 2x, y1 ? y2 ? 2 y ④
P 由①、②、③、④可知：
3
x2 ? y2 ? 3y ? 8 ，即 x2 ? ( y ? )2 ? ( 41)2 .
2 2
所以，线段 BC 的中点 P 的轨迹是?O ，其方程为： x? ( y ? )? (
C
2
1
3
2
41
)2 . ……4 分
2 2
3 ?41 , ……8 分 于是| AP |?| AO1 | ? | O1P |? ??
2 2 1 1 1 2 2 2 2
从而△ ABC 面积S ? | AB | ? | AC | ? (| AB |? | AC |) ? | BC |?| AP |
2 4 4
4125 ? 3 41 2 ? ( ??)? 2 2 2
3
……12 分
当点 P 的坐标为(0,
3 ? 41 ) 时，可取到等号.
2
……16 分
41 25 ? 3
所以，△ ABC 面积的最大值是 .
2
10.（本题满分 20 分）设a, b, c ?(0,1] ，
为实数，使得
恒成立，求 的最大值.
3 ? 1? (1? a)(1? b)(1? c)
a ? b ? c 解：取a ? b ? c ? 时， ?
1 64
. ……5 分
4
27
3
? 1?
64
(1? a)(1? b)(1? c) 27
……10 分
下证： ? 64 27
满足条件，即证 a ? b ? c a ? b ? c 3
注意到： (1? a)(1? b)(1? c) ? (1? )
3
令a ? b ? c ? 3x，其中 x ? 0 ，则0 ? x ? 1. 只须证 ? 1? 2
1 64
(1? x2 )3
x 27 1? x 64 ? ? (1? x)3 (1? x)3
x 27 64
? 1 ? x(1? x)2 (1? x)3
27
由均值不等式知：
2
3
2
……15 分
1? x 3
x ? 2(1? x) ? 3(
x ?1) 3 6
) ??
27
3 6
64 2 3 64 27 于是 x(1? x)(1? x)? ? ? 1，故（*）成立. 27 27 64
64
综上可知， 的最大值是 .
27
x(1? x) (1? x) ? 27x(1? x) ( ) ? 27(
64
……20 分
2024年全国高中数学联赛四川赛区预赛试题及参考答案
