2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题
一.选择题
1.如果集合A.B同时满足AUB??1.2.3.4?AIB??1?,A??1?,B??1?就称有序集对。这里的有序集对?A,B?意指当A?B，?A,B?和?B,A?是不同的集?A,B?为“好集对”
对，那么“好集对”一共有（ ）个。
２.设函数f?x??lg10?x?1,方程f?2x?f?12x的解为( )
??????A.log2?lg2??1B.lg?log210??1C.lg?lg2??1D.log2?log210??13.设A?100101102L499500是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺
序排列而成那么A除以126的余数是( ) 4.在直角VABC中, ?C?90o,CD为斜边上的高,D设
数
列
为垂足. 通
项
为
AD?a,BD?b,CD?a?b?1k.
?uk?的
uk?ak?ak?1b?ak?2b2?L???1?bk,k?1,2,3,L,则( )
5.……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列
?an?,易见
a1?1,a2?3,a3?7,a4?9,a5?13L那么
a2007?____________A. 9597 B. 5519 C. 2831 D. 2759
6.设
A?1?cos30 +1+cos70+1+cos110 +L1+cos870 B?1?cos3 +1-cos7+1-cos11 +L1-cos870000则A:B???
7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设n?2007,且n为使得an=的an为
9.若正整数n恰好有4个正约数,则称n为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.
10.平行六面体
?2-2?i2+2取实数值的最小正整数,则对应此n?nABCD?A1B1C1D1中,顶点A出发的三条棱AA1,AB,AD的长度分别为
o2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线AC1,BD1,DB1,CA1的长度(按顺序)分别为___________________ 11.函数f?x?,g?x?的迭代的函数定义为f?1??x??f?x?,f?2??x??f?f?x??,L
f?n??x??ff?n?1??x?,g?1??x??g?x?,g?2??x??g?g?x??,Lg?n??x??gg?n?1??x?其中n=2,3,4…
?????f?9??x??g?6??y????9??6?设f?x??2x?3,g?x??3x?2,则方程组?f?y??g?z?的解为_________________
??9??6?fz?g???x???12.设平行四边形ABCD中，AB?4,AD?2,BD?23,则平行四边形ABCD绕直线
AC旋转所得的旋转体的体积为_______________
三．解答题
13.已知椭圆?:3x?4y?12和点Q?q,0?,直线l过Q且与?交于A,B两点(可以重
22合).
1)若?AOB为钝角或平角(O为原点), q?4,试确定l的斜率的取值范围.
2)设A关于长轴的对称点为A1,F为椭圆的右焦点,q?4,试判断A1和F,B三点是否共线,并说明理由.
3)问题2)中,若q?4,那么A1,F,B三点能否共线请说明理由. 14. 数列
?xn?由下式确定: xn?1?xn,n?1,2,3,L,x1?1,试求22xn?1lgx2007整数部分k??lgx2007?.(注?a?表示不大于a的最大整数,即a的整数部分.)
15. 设给定的锐角VABC的三边长a,b,c,正实数x,y,z满足
22ayzbzxcxy???p,其中pxyz2为给定的正实数,试求s??b?c?a?x??c?a?b?y??a?b?c?z的最大值,并求出当
s取此最大值时, x,y,z的取值.
2007年安徽省高中数学竞赛初赛答案
一、 选择题
. . . . . 第1题解答过程
逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A和B.
元素2必须至少属于A、B中之一个，但不能同时属于A和B，有2种选择：属于A但不属于B，属于B但不属于A.
同理，元素3和4也有2种选择.
但元素2，3，4不能同时不属于A，也不能同时不属于B.
所以4个元素满足条件的选择共有2?2?2?2?6种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C.
第2题解答过程 令y?lg(10?x?1)，则y?0，且10?x?1?10y，10?x?10y?1，?x?lg(10y?1)，
?1x??lg(10y?1).从而ff(?t)?f?1(x)??lg(10x?1). 令2x?t，则题设方程为
(t)，即lg(10t?1)??lg(10t?1)，故 lg[(10t?1)(10t?1)]?0，
(10t?1)(10t?1)?1，102t?2， 2t?lg2，解得 2x?t?1lg2. 从而 21x?log2(lg2)?log2(lg2)?1. 答：A.
2第3解答过程
注意 126?2?7?9,2,7和9两两互质. 因为 A?0（mod2）, ?100?101?102???500?（100?500）?401?2?120300?6（mod9）, 所以A?6（mod18）. （1）
10又因为10??1，
33ni?(?1)（mod7）（?1）,所以A??(500?i)?10??(500?i)?
n400i?03i400i?0?(500?499)?(498?497)?(496?495)???(102?101)?100?300?6（mod7）.
(2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知A?6（mod126）. 答：C.
999999?10?1， 另解：，n?1,2,3,?（106?1）（106n?1）126?2?63，63999999，
所以A?100?1012006?101102?101194?103104?101188???497498?106?499500
?999999B?60060300?999999C?60360，
其中B，C为整数.从而A?63D?60360?63E?6，其中D，E为整数.所以A除以63的
余数为6.因为A是偶数，所以A除以126的余数也为6. 答：C. 第4解答过程
（a?b）?ab，又已知a?b?1，故ab?1，a(a?1)?1，易见CD?AD?BD，即
22ba2?a?1?0；b(b?1)?1，b2?b?1?0.显然uk是首项为ak，公比为q??的等比
aak(1?qk?1)ak?1?(?b)k?1?数列的前k?1项和.故uk?， k?1,2,3? .
1?qa?b即 uk?uk?1ak?1?(?b)k?1ak?2?(?b)k?21???[ak?2?ak?1?(?b)k?2?(?b)k?1]
a?ba?ba?b?1[ak?3?(?b)k?3]?uk?2， k?1,2,3? . a?b
年安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解
