第一章
1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？
解：P(A)?0.3 P(B)?0. 2 P(C)?0. 1 P(D)?0.4
P(E|A)?0.25P(E|B)?0.4 E－迟到，由已知可得
P(E|C)?0.1P(E|D)?0)?全概率公式： P(E)?P(EA贝叶斯公式：
P(E?B)P(E?C)(P EDP(EA)P(E|A)?P(A)0.075???0.455P(E)P(E)0.165P(E|B)?P(B)0.08P(B|E)???0.485P(E)0.165
P(E|C)?P(C)0.01P(C|E)???0.06P(E)0.165P(E|D)?P(D)P(D|E)??0P(E)P(A|E)?综上：坐轮船
?x?x2?2e2?X,x?03、设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度函数为fx(x)??? 式中，常
X?0,x?0?数?X?0，求期望E(X)和方差D(X)。 考察： 已知fx(x)，如何求E(X)和D(X)？
2E(X)??x?f(x)dx??? D(X)?E[(X?mx)]?222????(X?mx)2f(x)dx2???
D(X)?E(X)?E(X)?E(X)??x2?f(x)dxDX(?)6、已知随机变量X与Y，有EX?1,EY?3,D4,Y(?)?1XY6,?0令，
U?3X?Y,V?X?2Y,试求EU、EV、D(U)、D(V)和Cov(U,V)。
考察随机变量函数的数字特征
思路： 协方差：Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y) 相关系数：
?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)
E(aX?bY)?aE(X)?bE(Y)D(aX?bY)?a2D(X)?b2D(Y)?2abCov(X,Y) E(U)?6E(V)??5D(U)?76D(V)?52Cov(U,V)??40
11、设随机变量X的均值为3，方差为2。令新的随机变量Y??6X?22，问：随机变量X与Y是否正交、不相关？为什么？ 考察正交、不相关的概念
??0E(XY)? 0正交，非0不正交
??0?XY???0 0不相关，非0相关 ??0E(XY)?0 正交 Cov(X,Y)?0 相关
以上四题都是概率论的标准题。
第二章
1、已知随机信号X(t)?Acos?0t，其中?0为常数，随机变量A服从标准高斯分布，求
t?0,解：
?2?,三个时刻X(t)的一维概率密度函数。 3?03?0mx?E[X(t)]?E[Acos?0t]?cos?0t?E[A]?(t)?D[X(t)]?D[Acos?0t]?cos?0t?D[A]A服从标准高斯分布
?E[A]?0,D[A]?1?mx?E[A]?cos?0t?02?X(t)?D[A]?cos2?0t?cos2?0t2X2
?一维高斯概率密度函数fx(x,t)?1e2??x2212??X(t)
e?[x?mx(t)]222?X(t)?1e2?|cos?0t|?x22cos2?0t
①当t?0时，fx(x;0)?②当t???2?2x2时，fx(x;)?e 3?03?0?2?2?2?2x2时，fx(x;)?e3?03?0?
2③当t?
3、随机变量X与Y相互统计独立，并且服从N(0,?)分布。它们构成随机信号X(t)?XYt，试问：(1)信号X(t)的一维概率密度函数fx(x;t)；
(2) t时刻的随机变量是什么分布，求其均值和方差。 解：（1）
X,Y服从N(0,?2)分布 且X(t)?X?Yt
?X(t)也服从正态分布
?E[X(t)]?E[X?Yt]?E[X]?tE[Y]?0
D[X(t)]?D[X?Yt]
X,Y相互统计独立
?D[X(t)]?D[X?Yt]?D[X]?t2D[Y]?(t2?1)?2
?fx(x;t)?12?(t2?1)??e?x22t2?1?2?
（2）t时刻，随机变量是高斯分布
E[X(t)]?0D[X(t)]?(t?1)?22
22 ?其均值为0，方差为(t?1)?
4、假定随机正弦幅度信号X(t)?Acos(?0t??)，其中频率?0和相位?为常数，幅度A是一个服从?0,1?均匀分布的随机变量，试求t时刻该信号加在1欧姆电阻上的交流功率平均值。
解：t时刻该信号加在1欧姆上的交流功率为D[X(t)]
D[X(t)]?D[A?cos(?0t??)]
频率?0和相位?为常数
?D[A?cos(?0t??)]?cos2(?0t??)?D[A]
A服从[0,1]均匀分布
?1,0?a?1 ?fA(a)???0,other?D[A]?E[A]?E[A]??ada?[?a?da]?00221212112?D[A]?1121cos2(?0t??)12
?D[X(t)]?
5、已知随机信号X(t)的均值为mX(t)，协方差函数为CX(t1,t2)，又知道f(t)是确定的时间函数。试求随机信号Y(t)?X(t)?f(t)的均值以及协方差。 解：E[Y(t)]?E[X(t)?f(t)]?E[X(t)]?E[f(t)]
f(t)是确定信号
?E[Y(t)]?mX(t)?f(t)CX(t1,t2)?E[Y(t1)?Y(t2)]?E[Y(t1)]?E[Y(t2)]?E[X(t1)?f(t1)]?E[X(t2)?f(t2)]?E[X(t1)X(t2)?X(t1)f(t2)?f(t1)X(t2)?f(t1)f(t2)]?E[X(t1)?f(t1)]?E[X(t2)?f(t2)]?E[X(t1)X(t2)]?f(t1)E[X(t2)]?f(t2)E[X(t1)]?f(t1)f(t2)?E[X(t1)]?E[X(t2)]?f(t2)E[X(t1)]?f(t1)E[X(t2)]?f(t1)f(t2)?E[X(t1)X(t2)]?E[X(t1)]E[X(t2)]?CX(t1,t2) ?Y(t)的均值为mX(t)?f(t)
其协方差为：CX(t1,t2)
9、设接收机中频放大器的输出随机信号为X(t)?s(t)?N(t)，其中N(t)是均值为零，
方差为?的高斯噪声随机信号，而s(t)?cos(?0t??0)为确知信号，求随机信号X(t)在任意时刻t1的一维概率密度函数。
解：
2
X(t)?S(t)?N(t)N(t)?X(t)?S(t)
S(t)?cos(?0t??0)是确知信号
?E[X(t)]?E[S(t)?N(t)]?S(t)?E[N(t)]
2的高斯分布 N(t)服从均值为0，方差为?n?E[X(t)]?0?E[X(t)]?S(t)?cos(?0t??0)2D[X(t)]?D[S(t)?N(t)]?D[N(t)]??n
?fX(x,t)?12??ne?[x?cos(?0t??0)]222?n第三章
3、设X(t)与Y(t)是统计独立的平稳随机信号。求证由它们的乘积构成的随机信号
Z(t)?X(t)Y(t)也是平稳的。
证：
X(t)与Y(t)是统计独立的平稳随机信号
E[X(t)]?mX?RX(t1,t2)?E[X(t1)X(t2)]?RX(?),??|t2?t1|E[X(t)]??XE[Y(t)]?mY22
D[X2(t)]??X2RY(t1,t2)?E[Y(t1)Y(t2)]?RY(?),??|t2?t1|E[Y(t)]??Y22同理
D[Y2(t)]??Y2
随机信号分析基础作业题
