?9a?3b?c?0, 得??a?b?c?4, 解得a＝0，b＝－2，c＝6．
?4a?2b?c?2.? 所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．
6． （1）设OA的长为m，那么OB＝OC＝5m． 由△ABC的面积S△ABC＝15，得m＝5．
所以点A、B、C的坐标分别为(－1，0)、(5，0)、(0，－5)．
设抛物线的解析式为y＝a(x＋1) (x－5)，代入点C(0，－5)，得a＝1． 所以抛物线的解析式为y＝(x＋1) (x－5)＝x2－4 x－5．
（2）抛物线的对称轴为直线x＝2，设点E在对称轴右侧，坐标为(x，x2－4 x－5)． ①如图1，当E在x轴上方时，EF＝2(x－2)，EH＝x2－4 x－5． 解方程2(x－2)＝x2－4 x－5，得x?3?10或x?3?10（舍去）． 此时正方形的边长为2?210．
②如图2，当E在x轴下方时，EF＝2(x－2)，EH＝－(x2－4 x－5)． 解方程2(x－2)＝－(x2－4 x－5)，得x?1?10或x?1?10（舍去）．
此时正方形的边长为210．
第6题图1 第6题图2 第6题图3
（3）如图3，因为点B、C的坐标分别为(5，0)、(0，－5)， 所以BC与x轴正半轴的夹角为45°．
过点B作BM⊥BC，且使得BM＝72．
过点M作x轴的垂线，垂足为N，那么△BMN是等腰直角三角形．
在Rt△BMN中，斜边BM＝72，所以BN＝MN＝7． 因此点M的坐标为(－2，7)或(12，－7)．
经检验，点(－2，7)在抛物线y＝(x＋1) (x－5)上；点(12，－7)不在这条抛物线上． 所以点M的坐标是(－2，7)．
[另解]第（3）题也可以这样思考：
设抛物线上存在点M，设点M的坐标为(x，x2－4 x－5)．
由于△BMN是等腰直角三角形，BN＝MN，所以5－x＝x2－4 x－5． 解得x＝－2或x＝5（与点B重合，舍去）． 所以点M的坐标是(－2，7)．
这种解法不需要分情况讨论点M的位置，这是因为：
当M在点B的右侧时，方程为x－5＝－(x2－4 x－5)，这个方程和点M在点B的左侧时的方程是同一个方程．
7．（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，C(3,0)，顶点D(1,4)． （2）如图1，直线BD为y＝x＋3，E(－3,0)．
过△ABE的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交，得到三个点F．
① 点E(－3,0)向左平移2个单位得到点A(－1,0)，那么点B(0,3) 向左平移2个单位得
到点F1(2,3)．经验证，F1(2,3)在抛物线上． ② F2不在抛物线上．
③由B(0,3)先向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到点E(－3,0)，那么点A(－1,0) 先向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到点F3(－4,－3)．经验证，F3(－4,－3)不在抛物线上．
（3）如图2，直线AP的解析式为y＝x＋1．过点Q作y轴的平行线交AP于H．
设Q(x, －x2＋2x＋3)，那么H(x, x＋1)．
113127因此S△APQ＝S△AQH＋S△PQH＝QH(xP?xA)?(?x2?x?2)?3??(x?)2?．
22228271151所以当x?时，△APQ的最大面积为．此时Q(,)．
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第7题图1 第7题图2
8．（1）抛物线对称轴是直线x＝2．
（2）点B(0,0)关于对称轴x＝2对称的点C为(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)．
当△ABC为直角三角形时，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°． 所以点A的坐标为(2,2)或(2,－2)．
111①将A(2,2)代入y＝ax(x－4)，得a??．于是y??x(x?4)??x2?2x．因此b?2．
222111②当A(2,－2)代入y＝ax(x－4)，得a?．于是y?x(x?4)?x2?2x．因此b??2．
222 （3）如果四边形ABDC是正方形，那么A、D关于BC（x轴）对称且△ABC为等腰直角三角形．
由A(2,b)，得B(2＋b,0)、C(2－b,0)．
于是可得抛物线的解析式为y＝a(x－2－b)(x－2＋b)． 代入A(2,b)，得b＝－ab2．所以ab??1．
9．（1）因为A、B关于原点O对称，C、D关于原点O对称，所以OA＝OB，OC＝OD．
所以四边形ACBD是平行四边形．
（2）如图1，当直线AB与直线CD关于直线y＝x对称时，OA＝OB＝OC＝OD，所以四边形ACBD可以成为矩形．
因为x≠0，y≠0，所以点A、B、C、D不可能落在坐标轴上，因此直线AB与CD不可能垂直，即平行四边形ACBD的对角线不可能互相垂直，所以四边形ACBD不可能成为正方形．
（3）如图2，作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，那么S△AOE＝S△COF．
①如图2，当点C在点A上方时，设OA与CF交于点M，那么S四边形AEFM＝S△COM．
169因此S△AOC＝S梯形AEFC＝(2?)(3?m)??m．
2mm所以S＝S平行四边形ACBD＝4S△AOC?36?4m． m169②如图3，当点C在点A下方时，S△AOC＝S梯形AEFC＝(2?)(m?3)?m?．
2mm所以S＝S平行四边形ACBD＝4S△AOC?4m?36． m
第9题图1 第9题图2 第9题图3
2014挑战中考数学压轴题 - 强化训练
