两年模拟
7．（2012年从化市初三综合测试）
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3a经过A(－1,0)、B(0,3)两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；
（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
（3）如图2，P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．
图1 图2
8．（2012年高安市九年级模拟考试）
已知抛物线y?a(x?2)2?b (ab?0)的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）．
（1)直接写出抛物线对称轴方程；
（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；
（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A、B、C、D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．
自编原创
6与直线AB交于A、B两点，与直线CD交于C、D两点． x（1）求证四边形ACBD是平行四边形；
（2）四边形ACBD可能是矩形吗？可能是正方形吗？
（3）如果点A的横坐标为3，点C的横坐标为m(m＞0)，四边形ACBD的面积为S，求S与m的之间的关系式．
9．如图，已知双曲线y?
参考答案:
1．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4， 得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）．
如图，过△PAC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M．
①因为AM1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M1．
因为点P(－1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0，3)重合，所以点A(－3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(－2，－1)． ②因为AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2．
因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(－1，4)重合，所以点A(－3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(－4，1)． ③因为PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3．
因为点A(－3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(－1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)．
第1题图
2． 由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．
①如图1，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB 的中点（1，0）对称，所以点M的横坐标为2．
当x＝2时，y =－x2+2x＋3＝3．此时点M的坐标为(2，3)．
②如图2，图3，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4． 所以点M的横坐标为4或－4．
如图2，当x＝4时，y =－x2+2x＋3＝－5．此时点M的坐标为(4，－5)．
如图3，当x＝－4时，y =－x2+2x＋3＝－21．此时点M的坐标为(－4，－21)．
第2题图1 第2题图2 第2题图3
3． 抛物线c1：y??3x2?3与x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为(0,3)． 抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为(?m,3)，与x轴的两个交点为
A(?1?m,0)、B(1?m,0)，AB＝2．
抛物线c2在平移的过程中，与抛物线c1关于原点对称．所以四边形AMEN是平行四边形．如果以点四边形AMEN是矩形，那么AE＝MN．所以OA＝OM．
而OM2＝m2＋3，所以(1＋m)2＝m2＋3．解得m＝1（如图）．
第3题图
[另解]探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：
在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB边上的高为3，所以△ABM是等边三角形． 同理△DEN是等边三角形．
当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合． 因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．
4．（1）当x＝0时，y?3x?3?3，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3． 43． 2 如图1，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为 将y?13333代入y?x，得x＝1．所以点M的坐标为(1,)．因此AM?．
2222?c?3,32
（2）因为抛物线y＝x＋bx＋c经过A(0，3)、M(1,)，所以??3
21?b?c?.??255 解得b??，c?3．所以二次函数的解析式为y?x2?x?3．
22 （3）如图2，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E． 在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m． 因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．
5 将点C(4m，3－2m)代入y?x2?x?3，得3?2m?16m2?10m?3．
21或者m＝0（舍去）． 2 因此点C的坐标为（2，2）． 解得m?
第4题图1 第4题图2
45．（1）QB＝8－2t，PD＝t．
3 （2）当点Q的速度为每秒2个单位长度时，四边形PDBQ不可能为菱形．说理如下： 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．
已知PD//BC，当PQ//AB时，四边形PDBQ为平行四边形． CQCP2t6?t12，即?．解得t?． ?CBCA86524CQ245 此时在Rt△CPQ中，CQ?，PQ????6．
5sin?CPQ54 所以
2416?，BD?PQ?6． 55 因此BQ≠BD．所以四边形PDBQ不是菱形． 如图1，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．
过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．
AE2310 在Rt△APE中，cosA???，所以t?．
APt53 所以BQ?CB?CQ?8? 当PQ//AB时，
CQCPCQ，即??CBCA86?103．解得CQ?32．
96321016??． 第5题图1 9315 （3）以C为原点建立直角坐标系．
如图2，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)． 如图3，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)． 直线EF的解析式是y＝－2x＋6．
6?t6?t 如图4，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直
22线EF上．
所以点Q的运动速度为
所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝25．
第5题图2 第5题图3 第5题图4
[另解]第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数： 当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．
设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，
2014挑战中考数学压轴题 - 强化训练
