自编原创
9．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE＝∠B．设BD的长为x，CE的长为y． （1）当D为BC的中点时，求CE的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）如果△ADE为等腰三角形，求x的值．
备用图 备用图
参考答案:
1．因为D（3，4），所以OD＝5，cos?DOP?①如图1，当PD＝PO时，作PE⊥OD于E． 在Rt△OPE中，cos?DOP?此时点P的坐标为(3． 5OE3525． ?，OE?，所以OO?OP52625,0)． 6②如图2，当OP＝OD＝5时，点P的坐标为(5，0)．
③如图3，当DO＝DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6，0)．
第1题图1 第1题图2 第1题图3
2．在Rt△ABC中，AC?AB2?BC2?62?82?10.因此cos?ACB?4. 5在△PQC中，CQ＝t，CP＝10－2t.
第2题图1 第2题图2 第2题图3 ①如图1，当CP?CQ时，t?10?2t，解得t?10(秒). 3②如图2，当QP?QC时，过点Q作QM⊥AC于M，则CM＝?在Rt△QMC中，cos?QCM?1PC?5?t. 24CM5?t25，解得t?(秒). ??5CQt9③如图3，当PQ?PC时，过点P作PN⊥BC于N，则CN＝?11QC?t. 221t804CN在Rt△PNC中，cos?PCN??，解得t?(秒). ?2215CP10?2t102580综上所述，当t为秒、秒、秒时，△PQC为等腰三角形.
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3．由y＝2x＋2得，A(－1，0)，B(0，2)．所以OA＝1，OB＝2． 如图，由△AOB∽△QOP得，OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1． 设点Q的坐标为(0，m)，那么点P的坐标为(2m，0)．
因此AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．
①当AP＝AQ时，AP2＝AQ2，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得m?0或m??件的点P不存在．
②当PA＝PQ时，PA2＝PQ2，解方程(2m＋1)2＝5m2，得m?2?5．所以P(4?25,0)． ③当QA＝QP时，QA2＝QP2，解方程m2＋1＝5m2，得m??4．所以符合条31．所以P(1,0)． 2
第3题图
4．（12临沂26）
（1）如图，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．
在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，OC?23． 所以点B的坐标为(?2,?23)．
（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，
3． 633223所以抛物线的解析式为y??x(x?4)??x?x．
663（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．
代入点B(?2,?23)，?23??2a?(?6)．解得a??①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得y??23． 当P在(2,23)时，B、O、P三点共线．
②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以42?(y?23)2?16．解得y1?y2??23． ③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以42?(y?23)2?22?y2．解得y??23． 综合①、②、③，点P的坐标为(2,?23)．
第4题图
CPPMMC???1．因此PM＝DM，CP＝BD＝BDDMMB2－m．所以AD＝4－m．于是得到点D的坐标为(2，4－m)．
（2）在△APD中，AD2?(4?m)2，AP2?m2?4，PD2?(2PM)2?4?4(2?m)2． 5．（11湖州24）（1）因为PC//DB，所以①当AP＝AD时，(4?m)2?m2?4．解得m?②当PA＝PD时，m2?4?4?4(2?m)2． 解得m?3（如图1）． 24（如图2）或m?4（不合题意，舍去）． 3③当DA＝DP时，(4?m)2?4?4(2?m)2．
解得m?2（如图3）或
． m?2（不合题意，舍去）
3342综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为，或．
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第5题图1 第5题图2 第5题图3
[另解]第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：
①如图1，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA． 所以
PCMB113??．因此PC?，m?． CMBA222②如图2，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上． 所以DA＝2PO．因此4?m?2m．解得m?（3）点H所经过的路径长为4． 35?．思路是这样的： 4如图4，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图5，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．
第5题图4 第5题图
6．（10南通27）
(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB． 又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF． 因此
m8?xDCEB，即?． ?xyCEBF整理，得y关于x的函数关系为y??128x?x． mm(2)如图1，当m＝8时，y??121x?x??(x?4)2?2． 88因此当x＝4时，y取得最大值为2．
121812，那么??x2?x．整理，得x2?8x?12?0． mmmm解得x＝2或x＝6．
要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况． 因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．
(3) 若y?将x＝y ＝2代入y?将x＝y ＝6代入y?12，得m＝6（如图2）； m12，得m＝2（如图3）． m
7．（1）BE?t?4，EF?5(t?4)．
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第6题图1 第6题图2 第6题图3
（2）△DEF中，∠DEF＝∠C是确定的．
5(t?4)DEEF48①如图1，当DE＝DF时，，即?．解得t?156． ?ABBC251016②如图2，当ED＝EF时，4?5(t?4)．解得t?12．
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2014挑战中考数学压轴题 - 强化训练
