1990年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
x??t?2
y?3t?4垂直的平面方程是_____________.
(1)过点M(1,2?1)且与直线
x?? z?t?1
(2)设a为非零常数,则lim((3)设函数f(x)? x?ax)=_____________. x?a
10
x?1x?1,则f[f(x)]=_____________.
(4)积分
?20dx?ex2?y2dy的值等于_____________.
(5)已知向量组α1?(1,2,3,4),α2?(2,3,4,5),α3?(3,4,5,6),α4?(4,5,6,7), 则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)是连续函数,且F(x)?(A)?e(C)e?x?x?e?xxf(t)dt,则F?(x)等于
(B)?e(D)e?x?xf(e?x)?f(x)
f(e?x)?f(x)
f(e?x)?f(x) f(e?x)?f(x)
2(2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f?(x)?[f(x)],则当n为大于2的正整数时
,f(x)的n阶导数f(n)(x)是
(A)n![f(x)]2nn?1
(B)n[f(x)]n?1
(C)[f(x)] (D)n![f(x)]
2n(3)设a为常数,则级数(A)绝对收敛 (C)发散
?[n?1?sin(na)1?] n2n
(B)条件收敛 (D)收敛性与a的取值有关
(4)已知f(x)在x?0的某个邻域内连续,且f(0)?0,limf(x)?2,则在点x?0处
x?01?cosxf(x)
(A)不可导
(B)可导,且f?(0)?0 (D)取得极小值
(C)取得极大值
(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX?0的基础解析,k1、k2为任意常数,则方程组AX?b的通解(一般解)必是
β1?β2 2β?β2(C)k1α1?k2(β1?β2)?1
2(A)k1α1?k2(α1?α2)?
β1?β2 2β?β2(D)k1α1?k2(β1?β2)?1
2(B)k1α1?k2(α1?α2)? 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求
ln(1?x)?0(2?x)2dx.
1?2z(2)设z?f(2x?y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求.?x?y
(3)求微分方程y???4y??4y?e 四、(本题满分6分)
求幂级数
?2x的通解(一般解).
?(2n?1)xn?0?n的收敛域,并求其和函数.
五、(本题满分8分)
求曲面积分I?222x?y?z?4外侧在z?0的部分. yzdzdx?2dxdyS其中是球面??S 六、（本题满分7分）
设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且
f(a)?f(b).证明在(a,b)内至少存在一点?,使得f?(?)?0.
七、（本题满分6分）
设四阶矩阵
?1?100??2?01?10??0?,C??B???001?1??0????0001??0且矩阵A满足关系式
134?213?? 021??002?A(E?C?1B)?C??E
其中E为四阶单位矩阵,C表示C的逆矩阵,C?表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并
?1
求矩阵A.
八、（本题满分8分）
222求一个正交变换化二次型f?x1?4x2?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3成标准型.
九、（本题满分8分）
质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点
B(3,4)的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点
O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于
?.求变力F对质点P所作的功. 2 十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)已知随机变量X的概率密度函数f(x)?1?xe,???x???则X的概率分布函数2F(x)=____________.
(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率P(AB)=____________.
(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即
2ke?2P{X?k}?,k?0,1,2,k!E(Z)=____________.
十一、（本题满分6分）
,则随机变量Z?3X?2的数学期望
设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,y?x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z?2X?1的方差D(Z).
1990年考研数学一【试题版】【无水印】
