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第2讲 利用导数研究函数的单调性
基础巩固题组
(建议用时:40分钟)
一、填空题
1.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为________.
1x-1
解析 函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-=,令f′(x)<0,解得0
xx所以单调递减区间是(0,1). 答案 (0,1)
2.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述:
①f(b)>f(c)>f(d); ②f(b)>f(a)>f(e); ③f(c)>f(b)>f(a); ④f(c)>f(e)>f(d).
其中正确的是________(填序号).
解析 依题意得,当x∈(-∞,c)时,f′(x)>0,因此,函数f(x)在(-∞,c)上是增函数,由af(b)>f(a). 答案 ③
3.若函数f(x)=2x-3mx+6x在区间(2,+∞)上为增函数,则实数m的取值范围为
________.
解析 ∵f′(x)=6x-6mx+6, 当x∈(2,+∞)时,f′(x)≥0恒成立, 12
即x-mx+1≥0恒成立,∴m≤x+恒成立.
2
3
2
x11
令g(x)=x+,g′(x)=1-2,
xx∴当x>2时,g′(x)>0,即g(x)在(2,+∞)上单调递增, 15
∴m≤2+=.
225??答案 ?-∞,? 2
??
4.已知函数f(x)=(-x+2x)e(x∈R,e为自然对数的底数),则函数f(x)的单调递增区
间为________.
解析 因为f(x)=(-x+2x)e,
所以f′(x)=(-2x+2)e+(-x+2x)e=(-x+2)e.
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x2
2
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令f′(x)>0,即(-x+2)e>0,
因为e>0,所以-x+2>0,解得-2
12
5.已知函数f(x)=-x+4x-3ln x在区间[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是________.
2
3x-1
解析 由题意知f′(x)=-x+4-=-
x22
xx-3xx,由f′(x)=0得函数f(x)
的两个极值点为1和3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由t<1
1?1?2
6.若函数f(x)=x+ax+在?,+∞?上是增函数,则实数a的取值范围是________.
x?2?
1?1?2
解析 ∵f(x)=x+ax+在?,+∞?上是增函数,
x?2?
11?1??1?∴f′(x)=2x+a-2>0在?,+∞?上恒成立,即a>2-2x在?,+∞?上恒成立. xx?2??2?1?1?-2
∵函数y=x与函数y=-2x在?,+∞?上为减函数,∴a≥4-2×=3.
2?2?答案 [3,+∞)
7.(2017·南京、盐城模拟)已知f(x)=2ln x+x-5x+c在区间(m,m+1)上为递减函数,
则m的取值范围为________.
22
解析 由f(x)=2ln x+x-5x+c,得f′(x)=+2x-5,
2
x又函数f(x)在区间(m,m+1)上为递减函数, ∴f′(x)≤0在(m,m+1)上恒成立, 2??m+2m-5≤0,∴?2??m+1+2m+1
-5≤0,
1
解得≤m≤1.
2
?1?答案 ?,1? ?2?
8.(2017·南通、扬州、泰州调研)设f(x)是R上的奇函数,且f(-1)=0,当x>0时,(x+1)·f′(x)-2x·f(x)<0,则不等式f(x)>0的解集为________. 解析 因为当x>0时,(x+1)·f′(x)-2x·f(x)<0恒成立,所以?
2
2
?f2x?x+1
?′<0恒??
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成立,所以函数g(x)=fx在(0,+∞)上单调递减.又因为f(x)是定义在R上的x2+1
奇函数,且f(-1)=0,所以f(1)=0,g(1)=0,所以在(0,1)上恒有f(x)>0,在(1,+∞)上恒有f(x)<0.由图象易知在(-∞,-1)上恒有f(x)>0,在(-1,0)上恒有
f(x)<0,即不等式f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).
答案 (-∞,-1)∪(0,1) 二、解答题
ln x+k9.已知函数f(x)=(k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))xe
处的切线与x轴平行. (1)求k的值;
(2)求f(x)的单调区间.
1
-ln x-kx解 (1)由题意得f′(x)=, xe1-k又f′(1)==0,故k=1.
e1
-ln x-1x(2)由(1)知,f′(x)=. xe
111
设h(x)=-ln x-1(x>0),则h′(x)=-2-<0,
xxx即h(x)在(0,+∞)上是减函数.
由h(1)=0知,当0
综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).
?2?2?2?3
10.(2017·泰州模拟)已知函数f(x)满足f(x)=x+f′??x-x+c(其中f′??为f(x)在
?3??3?
2
点x=处的导数,c为常数).
3(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g(x)=[f(x)-x]e,若函数g(x)在[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.
2?2??2?232
解 (1)f′(x)=3x+2f′??x-1,令x=,得f′??=-1,∴f(x)=x-x-x+
3?3??3?
3
xc,
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