高考数学一轮复习第三章导数及其应用3_2利用导数研究函数的单调性课时作业文

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第2讲 利用导数研究函数的单调性

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________．

1x－1

解析 函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)<0，解得0

xx所以单调递减区间是(0,1)． 答案 (0,1)

2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述：

①f(b)>f(c)>f(d)； ②f(b)>f(a)>f(e)； ③f(c)>f(b)>f(a)； ④f(c)>f(e)>f(d)．

其中正确的是________(填序号)．

解析 依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，由af(b)>f(a)． 答案 ③

3．若函数f(x)＝2x－3mx＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为

________．

解析 ∵f′(x)＝6x－6mx＋6， 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立， 12

即x－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．

2

3

2

x11

令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－2，

xx∴当x>2时，g′(x)>0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增， 15

∴m≤2＋＝.

225??答案 ?－∞，? 2

??

4．已知函数f(x)＝(－x＋2x)e(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区

间为________．

解析 因为f(x)＝(－x＋2x)e，

所以f′(x)＝(－2x＋2)e＋(－x＋2x)e＝(－x＋2)e.

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x2

2

2xxx2x文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

令f′(x)>0，即(－x＋2)e>0，

因为e>0，所以－x＋2>0，解得－2

12

5．已知函数f(x)＝－x＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．

2

3x－1

解析 由题意知f′(x)＝－x＋4－＝－

x22

xx－3xx，由f′(x)＝0得函数f(x)

的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1

1?1?2

6．若函数f(x)＝x＋ax＋在?，＋∞?上是增函数，则实数a的取值范围是________．

x?2?

1?1?2

解析 ∵f(x)＝x＋ax＋在?，＋∞?上是增函数，

x?2?

11?1??1?∴f′(x)＝2x＋a－2>0在?，＋∞?上恒成立，即a>2－2x在?，＋∞?上恒成立． xx?2??2?1?1?－2

∵函数y＝x与函数y＝－2x在?，＋∞?上为减函数，∴a≥4－2×＝3.

2?2?答案 [3，＋∞)

7．(2017·南京、盐城模拟)已知f(x)＝2ln x＋x－5x＋c在区间(m，m＋1)上为递减函数，

则m的取值范围为________．

22

解析 由f(x)＝2ln x＋x－5x＋c，得f′(x)＝＋2x－5，

2

x又函数f(x)在区间(m，m＋1)上为递减函数， ∴f′(x)≤0在(m，m＋1)上恒成立， 2??m＋2m－5≤0，∴?2??m＋1＋2m＋1

－5≤0，

1

解得≤m≤1.

2

?1?答案 ?，1? ?2?

8．(2017·南通、扬州、泰州调研)设f(x)是R上的奇函数，且f(－1)＝0，当x>0时，(x＋1)·f′(x)－2x·f(x)<0，则不等式f(x)>0的解集为________． 解析 因为当x>0时，(x＋1)·f′(x)－2x·f(x)<0恒成立，所以?

2

2

?f2x?x＋1

?′<0恒??

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成立，所以函数g(x)＝fx在(0，＋∞)上单调递减．又因为f(x)是定义在R上的x2＋1

奇函数，且f(－1)＝0，所以f(1)＝0，g(1)＝0，所以在(0,1)上恒有f(x)>0，在(1，＋∞)上恒有f(x)<0.由图象易知在(－∞，－1)上恒有f(x)>0，在(－1,0)上恒有

f(x)<0，即不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．

答案 (－∞，－1)∪(0,1) 二、解答题

ln x＋k9．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))xe

处的切线与x轴平行． (1)求k的值；

(2)求f(x)的单调区间．

1

－ln x－kx解 (1)由题意得f′(x)＝， xe1－k又f′(1)＝＝0，故k＝1.

e1

－ln x－1x(2)由(1)知，f′(x)＝. xe

111

设h(x)＝－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝－2－<0，

xxx即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．

由h(1)＝0知，当00，从而f′(x)>0； 当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0.

综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．

?2?2?2?3

10．(2017·泰州模拟)已知函数f(x)满足f(x)＝x＋f′??x－x＋c(其中f′??为f(x)在

?3??3?

2

点x＝处的导数，c为常数)．

3(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设函数g(x)＝[f(x)－x]e，若函数g(x)在[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．

2?2??2?232

解 (1)f′(x)＝3x＋2f′??x－1，令x＝，得f′??＝－1，∴f(x)＝x－x－x＋

3?3??3?

3

xc，

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