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高考数学一轮复习第三章导数及其应用3_2利用导数研究函数的单调性课时作业文

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第2讲 利用导数研究函数的单调性

基础巩固题组

(建议用时:40分钟)

一、填空题

1.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为________.

1x-1

解析 函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-=,令f′(x)<0,解得0

xx所以单调递减区间是(0,1). 答案 (0,1)

2.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述:

①f(b)>f(c)>f(d); ②f(b)>f(a)>f(e); ③f(c)>f(b)>f(a); ④f(c)>f(e)>f(d).

其中正确的是________(填序号).

解析 依题意得,当x∈(-∞,c)时,f′(x)>0,因此,函数f(x)在(-∞,c)上是增函数,由af(b)>f(a). 答案 ③

3.若函数f(x)=2x-3mx+6x在区间(2,+∞)上为增函数,则实数m的取值范围为

________.

解析 ∵f′(x)=6x-6mx+6, 当x∈(2,+∞)时,f′(x)≥0恒成立, 12

即x-mx+1≥0恒成立,∴m≤x+恒成立.

2

3

2

x11

令g(x)=x+,g′(x)=1-2,

xx∴当x>2时,g′(x)>0,即g(x)在(2,+∞)上单调递增, 15

∴m≤2+=.

225??答案 ?-∞,? 2

??

4.已知函数f(x)=(-x+2x)e(x∈R,e为自然对数的底数),则函数f(x)的单调递增区

间为________.

解析 因为f(x)=(-x+2x)e,

所以f′(x)=(-2x+2)e+(-x+2x)e=(-x+2)e.

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x2

2

2xxx2x文档从网络中收集,已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

令f′(x)>0,即(-x+2)e>0,

因为e>0,所以-x+2>0,解得-2

12

5.已知函数f(x)=-x+4x-3ln x在区间[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是________.

2

3x-1

解析 由题意知f′(x)=-x+4-=-

x22

xx-3xx,由f′(x)=0得函数f(x)

的两个极值点为1和3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由t<1

1?1?2

6.若函数f(x)=x+ax+在?,+∞?上是增函数,则实数a的取值范围是________.

x?2?

1?1?2

解析 ∵f(x)=x+ax+在?,+∞?上是增函数,

x?2?

11?1??1?∴f′(x)=2x+a-2>0在?,+∞?上恒成立,即a>2-2x在?,+∞?上恒成立. xx?2??2?1?1?-2

∵函数y=x与函数y=-2x在?,+∞?上为减函数,∴a≥4-2×=3.

2?2?答案 [3,+∞)

7.(2017·南京、盐城模拟)已知f(x)=2ln x+x-5x+c在区间(m,m+1)上为递减函数,

则m的取值范围为________.

22

解析 由f(x)=2ln x+x-5x+c,得f′(x)=+2x-5,

2

x又函数f(x)在区间(m,m+1)上为递减函数, ∴f′(x)≤0在(m,m+1)上恒成立, 2??m+2m-5≤0,∴?2??m+1+2m+1

-5≤0,

1

解得≤m≤1.

2

?1?答案 ?,1? ?2?

8.(2017·南通、扬州、泰州调研)设f(x)是R上的奇函数,且f(-1)=0,当x>0时,(x+1)·f′(x)-2x·f(x)<0,则不等式f(x)>0的解集为________. 解析 因为当x>0时,(x+1)·f′(x)-2x·f(x)<0恒成立,所以?

2

2

?f2x?x+1

?′<0恒??

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成立,所以函数g(x)=fx在(0,+∞)上单调递减.又因为f(x)是定义在R上的x2+1

奇函数,且f(-1)=0,所以f(1)=0,g(1)=0,所以在(0,1)上恒有f(x)>0,在(1,+∞)上恒有f(x)<0.由图象易知在(-∞,-1)上恒有f(x)>0,在(-1,0)上恒有

f(x)<0,即不等式f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).

答案 (-∞,-1)∪(0,1) 二、解答题

ln x+k9.已知函数f(x)=(k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))xe

处的切线与x轴平行. (1)求k的值;

(2)求f(x)的单调区间.

1

-ln x-kx解 (1)由题意得f′(x)=, xe1-k又f′(1)==0,故k=1.

e1

-ln x-1x(2)由(1)知,f′(x)=. xe

111

设h(x)=-ln x-1(x>0),则h′(x)=-2-<0,

xxx即h(x)在(0,+∞)上是减函数.

由h(1)=0知,当00,从而f′(x)>0; 当x>1时,h(x)<0,从而f′(x)<0.

综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).

?2?2?2?3

10.(2017·泰州模拟)已知函数f(x)满足f(x)=x+f′??x-x+c(其中f′??为f(x)在

?3??3?

2

点x=处的导数,c为常数).

3(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)设函数g(x)=[f(x)-x]e,若函数g(x)在[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.

2?2??2?232

解 (1)f′(x)=3x+2f′??x-1,令x=,得f′??=-1,∴f(x)=x-x-x+

3?3??3?

3

xc,

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