培优点二十 几何概型
1.长度类几何概型
2例1：已知函数f?x??x?x?2，x???5,5?，在定义域内任取一点x0，使f?x0??0的概率是（ ）
A．
1 10B．
2 3C．
3 10D．
4 5【答案】C
【解析】先解出f?x0??0时x0的取值范围：x2?x?2?0??1?x?2，
从而在数轴上??1,2?区间长度占??5,5?区间长度的比例即为事件发生的概率，∴P?
2．面积类几何概型 （1）图形类几何概型
例2-1：如图所示，在矩形ABCD中，AB?2a，AD?a，图中阴影部分是以AB为直径的半圆，现在向矩形ABCD内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ）
3，故选C． 10
A．1000 【答案】C
B．2000 C．3000 D．4000
12【解析】在矩形ABCD中，AB?2a，AD?a，面积为2a2，半圆的面积为a?，
2故由几何概型可知，半圆所占比例为
?，随机撒4000粒豆子， 4落在阴影部分内的豆子数目大约为3000，故选C． （2）线性规划类几何概型
例2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ） A．
1 41B．
3C．
3 4D．
7 16【答案】D
【解析】设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，
?0?x?24则所有基本事件构成的区域满足?，
0?y?24??0?x?24
?
这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A满足?0?y?24，作出对应的平
?x?y?6?
面区域如图所示：
这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为P?A??（3）利用积分求面积
S阴S??1?18?187?，故选D．
24?2416例2-3：如图，圆O:x2?y2??2内的正弦曲线y?sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（ ）
A．
4 ?2B．
4 ?3C．
2 ?2D．
2 ?3【答案】B
【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为?3， 正弦曲线y?sinx与x轴围成的区域记为M，
?根据图形的对称性得：面积为S?2?sinxdx??2cosx0?0?4，
由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，
则点A落在区域M内的概率P?
3．体积类几何概型
例3：一个多面体的直观图和三视图所示，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF?BCE内自由飞翔，由它飞入几何体F?AMCD内的概率为（ ）
4，故选B． ?3
A．
3 4B．
2 31C．
3D．
1 2【答案】D
【解析】所求概率为棱锥F?AMCD的体积与棱柱ADF?BCE体积的比值． 由三视图可得AD?DF?CD?a，且AD，DF，CD两两垂直， 可得VADF?BCE?SADF?DC?11AD?DF?DC?a3， 221132棱锥体积VF?AMCD?DF?SADMC，而SADCM?AD??AM?CD??a，
324VF?AMCD112P??．故选D． ∴VF?AMCD?a．从而
V24ADF?BCE
对点增分集训
一、单选题
1．如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为阴影区域的面积约为（ ）
2．则3
A．
2 3B．
4 38C．
3D．无法计算
【答案】C
【解析】设阴影区域的面积为s，
s28?，∴s?．故选C． 4332．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（ ） A．
1 10B．
1 61C．
5D．
5 6【答案】B
【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟， ∴概率P?101?．故选B． 6063．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ） A．1?3? 6B．
3 4C．3? 6D．
1 4【答案】A
【解析】满足条件的正三角形如图所示：
其中正三角形ABC的面积S三角形?3?16?43 4满足到正三角形ABC的顶点A，B，C的距离都小于2的平面区域如图中阴影部分所示， 则S阴?2?，则使取到的点到三个顶点A，B，C的距离都大于2的概率为：
2?433?．故选A． 6P?1??1?24．在区间?0,1?上随机取两个数x，y，记P为事件\x?y?\的概率，则P?（ ）
3A．
2 3B．
1 2C．
4 9D．
2 9
【答案】D
【解析】如图所示，0?x?1，0?y?1表示的平面区域为ABCD， 平面区域内满足x?y?2?23的部分为阴影部分的区域APQ，其中P??3,0???2??，Q??0,3??， 12结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为??2p?2331?2，故选D．
1?9
5．在区间?0,2?上随机取一个数，sin?12x的值介于0到2之间的概率为（ ） A．13
B．
22? C．
12 D．
3 【答案】A
【解析】由0?sin?1??5?2x?2，得0?2x?6，或
6??2x??，∴0?x?13或53?x?2， 记A?sin?12x的值介于0到2之间，
则构成事件A的区域长度为13?0?2?523?3；全部结果的区域?0,2?长度为2； 2∴P?A??3?1，故选A．
236．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离PA?1的概率为（A．
14 B．
12 C．
π4 D．π
【答案】C
【解析】满足条件的正方形ABCD，如图所示：
）
微信公众号：中学数学研习专题20几何概型
